4.2 Линейное программирование, его методы.

При вычислении релевантных издержек, необходимых для принятия решений, и определении отклонений следует учитывать альтернативные издержки для редких ресурсов. Выход продукции может быть ограничен только одним редким ресурсом, однако на практике редкими могут быть и несколько видов ресурсов. Альтернативные издержки этих редких ресурсов можно определить при помощи приемов линейного программирования.

Если какой-то ресурс является редким и есть альтернативные варианты его использования, следует вычислить вклад в прибыль на единицу продукции по каждому из вариантов использования этого ресурса. Затем на основе величины вклада в прибыль по редкому ресурсу имеющаяся мощность по анализируемому ресурсу распределяется по альтернативным вариантам.

Задача распределения при единственном ограниченном ресурсе Компания LP в настоящее время выпускает два изделия. Ниже представлены нормативные издержки по каждому из них.

Изделие Z (£) (£) Изделие Y (£) (£)

Нормативная цена реализации 110 Нормативная цена реализации 118

Минус нормативные издержки: Минус нормативные издержки:

материалы (8 ед. по £4 за ед.) 32 материалы (4 ед. по £4 за ед.) 16

труд (6 ч по £10 за ч) 60 труд (8 ч по £10 за ч) 80

переменные накладные расходы переменные накладные расходы

(4 ч работы оборудования по £1) 4 (6 ч работы оборудования по £1) 6

96 102

Вклад в прибыль 14 Вклад в прибыль 16

В течение следующего учетного периода ожидается, что труд работников, которым будет располагать компания, ограничен 2880 ч. Остальные производственные ресурсы не являются редкими, однако менеджер по маркетингу считает, что максимально потенциальная реализация для продукта Y составляет 420 ед. Ограничений по реализации для изделия Z нет.

Можно установить вклад в прибыль на единицу продукции по редкому ресурсу. Изделие Y дает вклад в прибыль в £14. На его производство требуется 6 ч труда, т. е. ресурса, который в данном случае является редким. Следовательно, вклад в прибыль на час труда равен £2,33. Аналогично вклад в прибыль по труду для изделия Z составляет £2 на 1 час. Поэтому компании следует распределить редкий ресурс (часы труда) на производство изделия Y. Однако из-за того, что общее количество этого изделия ограничено в реализации 420 ед., это означает, что на производство этих изделий следует выделить только 2520 ч труда (420 ед. по 6 ч на единицу). Оставшиеся 360 ч следует использовать для производства изделия Z. Так как одна единица изделия Z требует 8 ч труда, общий выход продукции по изделию Z составит 45 ед.

Таким образом, прибыль будет максимальной, если компания выпустит 420 ед. изделия Y и 45 ед. изделия Z. В этом случае общий вклад в прибыль составит £6600. Ниже показан порядок вычисления этого вклада.

(£)

420 ед. Y при вкладе в прибыль £14 на ед. 5880

45 ед. Z при вкладе в прибыль £16 на ед. 720

6600

Ограничения при двух редких ресурсах

Если более чем один ресурс является ограниченным, оптимальную производственную программу определить при помощи показанного выше метода нельзя. Рассмотрим ситуацию, представленную в табл. 26.1, если в ней помимо труда появляется еще один ограниченный ресурс. Предположим, что для обоих изделий — Y и Z — применяется один и тот же материал и что поставка этого материала в следующий учетный период ограничена общим объемом в 3440 ед. Теперь редких ресурса два: труд и материал. Если применить процедуру, описанную выше, то вклад на единицу относительно редкого ресурса будет иметь следующий вид:

Изделие Y, £ Изделие Z, £

Труд 2,33 (£14 /6 ч) 2,00 (£16 /8 ч)

Материал 1,75 (£14 / 8 ед.) 4,00 (£16 / 4 ед.)

Этот анализ показывает, что изделие Y обеспечивает больший вклад в прибыль на час труда, но изделие Z дает большую прибыль на единицу используемого материала, поэтому не ясно, как следует распределять оба редких ресурса по каждому из изделий. При таких обстоятельствах необходимо обратиться к более сложным математическим приемам, которые позволяют установить программу получения оптимального выхода продукции.

Линейное программирование — это мощный математический прием, который может применяться для решения проблем, связанных с рационированием ограниченных ресурсов при множестве альтернативных вариантов таким образом, чтобы получить оптимальные выгоды. Он позволяет отыскать реальную комбинацию конечных результатов, при которой заданная целевая функция будет максимальной или минимальной.

Целевая функция отражает в количественном виде указанную выше цель и обычно используется в форме получения максимальной прибыли или обеспечения минимальных издержек. Линейное программирование может использоваться в том случае, если анализируемые зависимости предполагаются линейными и когда оптимальное решение действительно существует.

Чтобы ситуация соответствовала допущению о линейности, следует предположить, что вклад в прибыль на единицу по каждому виду продукции и использование ресурсов на единицу являются одинаковыми, независимо от количества выпускаемой и реализуемой продукции в рассматриваемом диапазоне. Также следует исходить из предположения, что произведенные единицы продукции и распределяемые ресурсы можно делить до бесконечности. Это означает, что оптимальный план, в котором предусматривается выпуск 94,38 ед., является возможным. Однако на практике нам придется интерпретировать такой план как производство, ровное 94 ед.

Задача при множестве ограниченных ресурсов Компания LP в настоящее время выпускает два изделия. Ниже представлены нормативные издержки по каждому из них.

Изделие Z (£) (£) Изделие Y (£) (£)

Нормативная цена реализации 110 Нормативная цена реализации 118

Минус нормативные издержки: Минус нормативные издержки:

материалы (8 ед. по £4 за ед.) 32 материалы (4 ед. по £4 за ед.) 16

труд (6 ч по £10 за ч) 60 труд (8 ч по £10 за ч) 80

переменные накладные расходы переменные накладные расходы

(4 ч работы оборудования по £1) 4 (6 ч работы оборудования по £1) 6

96 102

Вклад в прибыль 14 Вклад в прибыль 16

В течение следующего учетного периода ожидается, что ресурсы будут ограничены следующими показателями:

Труд 2800 ч

Материалы 3440 ед.

Мощность оборудования 2760 ч

Менеджер по маркетингу считает, что максимально возможная реализация изделия Y составляет 420 ед. По изделию Z ограничений нет. Вам поручили дать рекомендации о том, как следует использовать оборудование и ресурсы наилучшим образом, чтобы получить от них оптимальные выгоды.

Процедура, которой воспользуемся для решения поставленной задачи, связана, во-первых, с формулированием этой задачи в алгебраическом виде, поэтому введем следующие обозначения: Y — число единиц продукта Y, a Z — число единиц продукта Z, выпускаемых компанией. Во-вторых, следует уточнить целевую функцию, которой в данном примере является максимизация вклада в прибыль (обозначим ее Q. Кроме того, необходимо учесть ограничения по исходным ресурсам. Теперь можно сформулировать модель линейного программирования в следующем виде:

Максимизировать С = 147+ 16Z, при условии, что

8Y + 4Z <3440 (ограничение по материалу)

6Y + 8Z <2880 (ограничение по труду)

AY+ 6Z <2760 (ограничение по мощности оборудования)

0 < Y < 420(ограничение по минимальной и максимальной реализации)

Z > 0 (ограничение по минимальной реализации)

В этой модели «максимизировать С» означает, что мы стремимся иметь вклад в прибыль максимальным при неизвестном числе единиц Y, каждая из которых дает вклад в прибыль в £14 на единицу, и неизвестном числе единиц Z, вклад в прибыль одной из них равен £16. Ограничение по труду показывает, что для производства единицы изделия Y требуется 6 ч труда, а для изделия Z — 8 ч. Таким образом общее время (6 ч • Y + 8 ч • Z) не может превышать 2880 ч. Аналогичные обоснования применяются к другим ресурсам.

Поскольку линейное программирование — это не более чем математический инструмент, применяемый для решения оптимизационных проблем ограничения, сам по себе этот прием не гарантирует, что полученный в результате него вариант будет обоснованным с логической точки зрения. Например, производственная задача для некоторых неприбыльных продуктов показывает, что оптимальный уровень выхода продукции может быть при отрицательном значении, что, понятно, является невозможным. Чтобы не допустить таких нереалистических результатов, следует включить требования о получении неотрицательного результата, которое указывает, что все переменные в задаче должны быть равными нулю или больше нуля. Поэтому необходимо добавить к модели для рассматриваемого примера ограничение, что 7 и Z должны быть не меньше нуля, т. е. мы должны включить требования о получении 0 < Y < 420. Последнее выражение указывает, что реализация Y, с одной стороны, не может быть меньше нуля, а с другой — не должна превышать 420 ед.

Созданную модель можно решить либо графически, либо симплекс-методом. Если выпускается не более двух видов продукции, можно воспользоваться графическим методом, однако он становится непрактичным, если рассматривается более двух видов продукции, в этом случае необходимо прибегнуть к симплекс-методу.

Графический метод Использование первого ограничения по материалу 8Y + 4Z < 3440 означает, что можно максимально изготовить 960 ед. изделия Z, при котором выпуск изделия Y будет нулевым. 960 ед. получается, если разделить 3440 ед. материала на 4 ед. материала, необходимые для выпуска каждой единицы изделия Z. И наоборот, если материал не выделять на производство изделия Z, можно выпустить 430 ед. изделия Y (3440 ед. материала, деленных на 8 ед.). Поэтому можем указать, что

когда Y= 0, то Z— 860 и когда Z= 0, то Y= 430.

Прямая линия начинается в точке с координатами (Z = 0, Y = 430) и заканчивается в точке (Y = 0, Z= 860). На вертикальной оси откладывается число выпущенных единиц Y, а на горизонтальной оси — Z.

Область слева от линии 8Y+ 4Z <3440 содержит все возможные варианты выпуска изделий Y и Z в указанной ситуации, а любая точка, лежащая на линии, соединяющая две конечные точки, представляет собой максимальную комбинацию изделий Y и Z, которые могут быть произведены в условиях, ограниченных 3440 ед. материала. Каждая точка справа от этой линии приводит к нарушению ограничения материала.

Ограничения по труду 6Y + 8Z <2880 свидетельствуют, что если производство изделия Z является нулевым, то максимально можно выпустить 480 ед. изделия Y(2 880 /6), а если выпуск Y является нулевым, то можно изготовить 360 ед. Z (2880/8). Теперь можно провести вторую линию с координатами (Z= 0, Y= 360) и (Y= 0, Z= 360).

Ограничение по мощности работы оборудования (выраженной временем) представлено точками с координатами (Z = 0, Y = 690) и (Y = 0, Z = 460) и линией, которая их соединяет. Область слева от линии 4Y+ 6Z <2760 указывает все возможные решения, которые удовлетворяют ограничению по мощности оборудования.

Последнее ограничение, которое сейчас рассмотрим, связано с тем, что объем реализации изделия Y не может превышать 420 ед. В графическом виде это показано линией Y <420, и все значения ниже этой линии отражают все возможные решения, которые удовлетворяют данному ограничению.

Понятно, что любое решение, которое соответствует сразу всем ограничениям, должно находиться в затененной зоне ABCDE. Теперь необходимо найти точку внутри затененной области, в которой вклад в прибыль С максимален. Это максимальное значение будет соответствовать в одной из угловых точек области ABCDE. Целевая функция имеет вид С = 14 Y + 16Z, а случайное значение вклада в прибыль выбирается таким, чтобы эта целевая функция проходила через область ABCDE.

Если выбрать общий вклад в прибыль, равный, например, £2240, то его можно получить, выпустив 160 ед. изделия Y при вкладе в прибыль от каждой из них в £14 или 140 ед. Z при вкладе в прибыль £16 на единицу. Поэтому можно провести линию через точки с координатами (Z = 0, Y = 160) и (Y = О, Z = 140). Каждая точка на этой пунктирной линии отражает вклад в прибыль от изделий Z и Y, при котором общий вклад равен £2240. Пунктирная линия продолжена вправо до касания дальнего угла границы области ABCDE. Здесь находится оптимальное решение: точка С, которая указывает выход продукции в 400 ед. изделия Y (вклад в прибыль £5600) и 60 ед. изделия Z (вклад в прибыль £960), что в совокупности дает общий вклад в прибыль в £6650.

Симплекс-метод

Если, используя имеющиеся редкие ресурсы, выпускается более чем два вида продукции, оптимальное решение при помощи графического метода получить очень сложно, поэтому следует воспользоваться неграфическим подходом, который известен как симплекс-метод. Этот метод также предоставляет дополнительную информацию об альтернативных издержках и маржинальных ставках замещения, которые особенно полезны для принятия решений планирования и управления.

Симплекс-метод требует выполнения множества довольно утомительных вычислений, однако в настоящее время разработаны стандартные компьютерные программы, которые позволяют решать подобные задачи за несколько минут. Поэтому цель — не вдаваться в указанные мелкие вычисления, а разобрать сущность этого метода и показать, как он может быть использован для управленческого учета. Тем не менее, чтобы обеспечить понимание сущности метода, процедура вычислений должна быть в целом показана, что мы и сделаем, применив рассматриваемый здесь метод к задаче, представленной в табл. 26.2.

Чтобы применить симплекс-метод, следует сначала сформулировать модель, которая не включает никаких неравенств. Это можно сделать, если ввести в модель так называемые дополнительные переменные. Они добавляются к задаче линейного программирования, чтобы учесть любые ограничения, которые не используются в точке оптимальности, при этом на каждое ограничение вводится по одной дополнительной переменной. В рассматриваемом здесь примере компания сталкивается с ограничениями по материалам, труду, мощности оборудования и максимальному объему реализации изделия Y. Поэтому S1 вводится для представления неиспользованных материальных ресурсов, S2 — неиспользованных часов труда, S3 — неиспользованной мощности оборудования и S4 — неиспользованного потенциала реализации. Теперь можно выразить модель по данным табл. 1 в уравнениях с равенствами, а не с неравенствами, как это сделано выше, а именно:

Максимизировать С =14F+16Z,

при условии, что 8Y + 4Z + S1 = 3440 (ограничение по материалу);

6Y + 8Z + S2 = 2880 (ограничение по труду);

4Y + 6Z + S3 = 2760 (ограничение по мощности оборудования);

1У + S4= 420 (ограничение по реализации для изделия Y).

Для труда при достижении оптимального решения расходование (6 ч • Y + 8 ч • Z) плюс любые неиспользованные часы S2 будут равны 2880 ч. Аналогичные обоснования применяются для других производственных ограничений. Ограничение по реализации указывает, что число единиц Y, которые реализованы, плюс любые отклонения от максимального спроса должны составлять 420 ед.

Теперь выразим все приведенные выше уравнения в матричной форме, причем дополнительные переменные будут в ее левой стороне.

Первая матрица

Количество Y Z

S1 = 3440 -8 -4 (1) (ограничение по материалу)

S2 = 2880 -6 -8 (2) (ограничение по труду)

S3 = 2760 -4 -6 (3) (ограничение по мощности оборудования)

S4 = 420 -1 0 (4) (ограничение по реализации)

С = 0 +14 +16 (5) вклад в прибыль

Столбец с количественными значениями в матрице указывает доступные ресурсы или неиспользованные резервы, когда производство является нулевым. Например, строка S1 в матрице указывает, что если производство является нулевым, доступны 3440 ед. материала. Столбец Y показывает, что для изготовления единицы изделия Y необходимы 8 ед. материала, 6 ед. труда и 4 ч. работы оборудования и что производство единицы Y приводит к сокращению потенциальной реализации Y на 1. Из столбца Y также видно, что производство единицы изделия Y обеспечивает вклад в прибыль в £14. Аналогично можно пояснить столбец Z. Обратите внимание, что элемент в колонке вклада в прибыль (т. е. строка С) для колонки количества является нулевым, что объясняется тем, что первая матрица относится к нулевому выходу продукции, при котором вклад в прибыль также является нулевым.