Лабораторная работа № 1

МЕТОДОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАЦИОННЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Цель лабораторной работы: приобретение практических навыков принятия оптимальных решений на основе методологии построения операционных математических моделей.

Краткие теоретические сведения

Основной особенностью операционной методологии является поиск оптимального решения на базе математической модели и использование для ее анализа математического аппарата. Предшествующий построению математической модели всесторонний количественный анализ той или иной задачи оптимизации - неотъемлемая часть методологии исследования операций. Этот анализ осуществляется в соответствии с принципами системного подхода и предполагает выявление всех существенных элементов задачи и их взаимосвязей.

Степень соответствия хода операции поставленной цели характеризуется достигаемым значением функционала:

W = F [x₁(t), x₂(t), ... , x_n(t)] - критерия оценки (показателя эффективности).

Процесс проектирования как операция имеет целью получение оптимального объекта проектирования, имеющего наилучшие возможные свойства: минимальный вес, минимальную стоимость, максимальную энерговооруженность, максимальную прибыль, минимальный срок окупаемости, минимум капиталовложений и т.п. В такой постановке создание оптимального объекта (например, системы управления производством) формализуется в виде задачи математического программирования, в которой критерий оценки отражает основную цель операции, а система ограничений обеспечивает выполнение всех требований к объекту проектирования. При этом автоматизированное проектирование оптимальных объектов и систем на основе математических методов с использованием компьютеров содержит две основные задачи:

- разработка математической модели объекта проектирования, содержащей все основные технико-экономические требования к создаваемому объекту или системе (работоспособность, технологичность, допустимая стоимость и т.п.);

- организация такого вычислительного процесса, который автоматизирует выполнение всех требований математической модели.

Операционная математическая модель представляет собой агрегат (совокупность) алгоритмов, описывающих функциональные свойства проектируемого объекта. Эта модель в пространстве фазовых координат, образованных гиперповерхностями входящих в модель ограничений, воспроизводит (синтезирует) образ проектируемого объекта, отвечающего всем технико-экономическим требованиям, предъявляемым в рамках данных конкретных задач проектирования.

Схема метода построения операционных математических моделей оптимальных объектов проектирования, позволяющих на основе формализованного представления процесса проектирования как операции синтезировать оптимальные по заданному критерию параметры объекта, представлена на рис.1.

Качественная модель проектируемого объекта, представляющая собой словесное описание требований, обеспечивающих процесс функционирования конструкции на всех этапах ее существования, формируется на основании технического задания.

Каждое из требований, записанное в виде математических выражений (для аналитических моделей), графов или матриц (для топологических моделей) или семантических правил (для семантических моделей), устанавливает основные взаимосвязи оптимизируемых параметров:

• геометрические, позволяющие по полученным значениям искомых оптимизируемых параметров х₁,х₂,х₃,...,х_n, а также по совокупности параметров а₁,а₂,а₃,...,а_m, заданных в качестве исходной информации, воспроизвести объект с той степенью детализации, которая необходима проектировщику при решении данной конкретной задачи;

• энергетические, устанавливающие зависимость энергосиловых характеристик объекта от оптимизируемых параметров;

• механические, описывающие кинематические и динамические характеристики объекта (взаимное расположение узлов и деталей конструкции в процессе ее функционирования, внешние усилия, инерционные силы, силы трения, масса конструкции и т.п.);

• прочностные, обеспечивающие работоспособность конструкции в целом и отдельных ее узлов из условий прочности, жесткости, долговечности;

• конструкторско-технологические, описывающие специальные конструкторские требования, а также технологические ограничения;

• экономические, включающие в себя ограничения ресурсов проектной задачи, требования к сбыту, торговле, организационной системе.

В случае невозможности формализовать какое-либо из требований в виде математических зависимостей необходимы дополнительные теоретические и экспериментальные исследования.

Из указанных зависимостей в соответствии с основной целью проектирования формируется целевая функция:

Ф = f(х₁,х₂, х₃,..., x_n; a₁,а₂,а₃, ..., а_m) (1)

Остальные связи параметров, записанные в виде равенств и неравенств, являются ограничениями, составляющими вместе с целевой функцией математическую модель объекта, которая на этом этапе создания должна быть подвергнута испытаниям на компьютере и, в случае необходимости, скорректирована уровне качественной модели или математического описания.

Построенная таким образом математическая модель воспроизводит образ проектируемого объекта, отвечающего всем технико-экономическим требованиям предъявляемым в рамках данных конкретных задач проектирования, и может быть занесена в банк математических моделей системы автоматизированного проектирования.

Рис. 1. Схема метода построения операционной математической модели

Если полученная таким образом математическая модель состоит из линейной целевой функции, и входящие в систему ограничения равенства и (или) неравенства также линейны, то такая модель относится к классу оптимизационных задач линейного программирования, и в этом случае могут быть использованы характерные для такого класса задач методы решения (графический, симплекс-метод).

Рассмотрим ситуационную задачу.