Лекция 9 Позиционные задачи

Способ вспомогательных сфер.

В тех случаях, когда:

1. пересекаются две поверхности вращения ( х  = а = ?);

2. оси данных поверхностей вращения  и  пересекаются между собой (i x j = О);

3. пересекающиеся оси формируют плоскость, параллельную одной из плоскостей проекций [Г(i x j) II П2],

при построении линий пересечения а данных поверхностей вращения  и  в качестве посредников возможно применение концентрических сфер  с центром О в точке пересечения осей (О = i x j).

Рис.50 Способ основан на том, что поверхность вращения пересекается с сосной сферой по окружностям, плоскости которых перпендикулярны их общей оси вращения. Соосными называются поверхности, оси которых совпадают. Приведенная на Рис. 50 сфера  является одновременно сосной с поверхностью прямого кругового конуса  и кругового цилиндра . По этой причине поверхности сфера  и конуса  пересекаются по окружности n, а поверхности сферы  и цилиндра  – по окружности m. Так как обе окружности (m и n)принадлежат одной и той же поверхности сферы , то, как видно на Рис. 50, они пересекаются между собой в точках A и A. Являясь общими точками для двух пересекающихся поверхностей ( и ), они – эти точки – принадлежат линии пересечения а рассматриваемых поверхностей и ).

П ример. Построить линию пересечения прямого кругового конуса  и кругового цилиндра  (Рис.51).

 х  = n и n = ?

Рис.51

В данном примере:

1. Пересекаются две поверхности вращения ( и ); 

2. Пересекаются оси i и j поверхностей вращения ( и ) соответственно;

i х j = О;

3. Плоскость Г, сформированная пересекающимися осями Г ( i х j ), параллельна П2.

Три вышеперечисленные условия являются основанием для применения в качестве посредников концентрических сфер при решении данной задачи.

Сначала определим опорные точки линий пересечения n и n, если таковые имеются. Поскольку плоскость Г является общей плоскостью симметрии обеих пересекающихся поверхностей ( и ), то контурные образующие проекций поверхностей (на плоскости П2), пересекаясь, (принадлежат одной плоскости Г) определят опорные точки линий пересечения n и n (A2, B2, A2 и B2).

Переходим к определению радиусов минимальной и максимальной сфер.

Rmax равен расстоянию от проекции О2 до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих (в нашем случае А2). Сфера - посредник радиуса Rmax позволит повторно определить точку А. В этом необходимости нет.

Для определения Rmin необходимо из точки О2 опустить перпендикуляры на очерковые образующие обеих пересекающихся поверхностей ( и ). Больший из них (на Рис.50 к конической поверхности ) и будет Rmin.

Сфера минимального радиуса (d2) коснется конической поверхности  и дважды пересечет цилиндрическую поверхность . В пересечении проекций полученных окружностей получаем точку 2 (22), принадлежащую линии пересечения n (n2).

Для более точного решения задачи необходимо построить проекции нескольких концентрических сфер с центром в точке О2 и с радиусами Rmin < Ri < Rmax. На Рис.51 построена проекция а2 одной из таких сфер. Она пересекает по двум окружностям [одна из них b(b2)] цилиндрическую поверхность  и по двум окружностям [одна из них c(c2)] коническую поверхность . Плоскости этих окружностей ортогональны плоскости проекций П2 и, соответственно, спроецируется на эту плоскость в виде прямых линий. В пересечениях этих прямых (в2 и с2) мы имеем проекции точек 1(12) и 1(12), которые одновременно принадлежат обеим поверхностям (как принадлежащие линиям этих поверхностей), и, значит, и искомой линии их пересечения n (n2).

Горизонтальная проекция линии пересечения строится по ее принадлежности конической поверхности.

Теорема Монжа.

Если две поверхности второго порядка одновременно описаны вокруг третьей поверхности второго порядка, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка.

Рис.52

На Рис.51 приведен комплексный чертеж двух пересекающихся конических поверхностей вращения ( и ), которые одновременно касаются третьей поверхности вращения (сферы). Линией их пересечения будут две плоские кривые (два эллипса m и n).