Повторные испытания. Формула бернулли

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна Р, то вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях К раз ( безразлично в какой последовательности), выражается формулой

Р_n(К) = С _n^k * Р^k * q^n-k , (9)

где q = 1-Р.

Формула (9) называется формулой Бернулли. Испытания называют независимыми, если вероятность события в каждом испытании не зависит от того, каковы результаты других испытаний.

Вероятность того, что событие наступит:

а) менее L раз, б) не более L раз - находятся соответственно по формулам:

а) Р_n (0) + Р_n (1) + ...+Р_n (L -1) = Р_n ( К < L );

б) Р_n (0) + Р_n (1) + ...+Р_n (L) = Р_n ( К ≤ L ) . (10)

Задача № 11

Монету бросают “k” раз. Найти вероятность того, что “ герб” выпадает:

а) ровно( k –3) раз, б) не менее( k – 3) раз.

а) вероятность того, что герб выпадет (k-3) раз:

Р_k (k - 3) = C_k^k-3 * P^k-3 * q³ , т. к. Р = 1 / 2 и q = 1 / 2, тогда

;

б) вероятность того, что герб выпадет не менее (k-3) раз:

.

Случайные величины

Случайной величиной называется переменная величина, принимающая в результате испытания одно из возможных ее значений (заранее неизвестно какое).

Дискретные случайные величины (д. С .В.)

Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа. Возможные значения д. с. в. можно перенумеровать. Число возможных значений д. с. в. может быть конечным или бесконечным (множество всех возможных значений какой с. в. является счетным).

Закон распределения д. с. в. может быть задан таблицей, в верхней строке которой указаны все возможные значения с. в., а в нижней - соответствующие этим значениям вероятности.

Х	х1	х2	...	...	...	хn
Р	р1	р2	...	...	...	рn

.

Биномиальным называют закон распределения д. с. в. Х - числа наступления события при n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна Р. Вероятность того, что Х = К, вычисляется по формуле Бернулли:

Р_n(К) = С _n^k * Р^k * q^n-k . (9)

Если n велико, а р мало, то пользуются приближенной формулой

, (10)

где К - число наступлений события в n независимых испытаниях; = n*p - среднее число наступлений события в “n” испытаниях. В этом случае говорят, что с.в. распределена по закону Пуассона.

Закон распределения д. с. в. можно изобразить графически: строят точки

М₁(х₁; p₁);М₂(х₂; p₂), ..., М_n (х_n; p_n) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ д. с. в.

Математическим ожиданием д. с. в. М[X] называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

М[X] = р₁х₁ * р₂х₂ * ...* р_n х_n или .

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

1. М [C] = C , где С - постоянная величина;

2. М [X₁ + X₂ +... + X_n] = M[X₁] + M[X₂] +...+ M[X_n] ;

3. М [X₁ * X₂ ] = M[X₁] * M[X₂] ,

где X₁ , X₂ - независимые величины.

Для биномиального распределения

М[X] = n*p,

где n - число испытаний, р - вероятность наступления события в одном испытании.

Дисперсией с.в. Х называют математическое ожидание квадрата отклонения с.в. от ее математического ожидания,

Д[X] = M [X - M [X] ]² (11)

Откуда получим:

Д[X] = M [X²] - ( M [X] )² .

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ

1. Д[С] = 0;

2. Д[C*X] = C² * Д [X], C – постоянная;

3. для независимых с.в.

Д[X ₁+ X₂ + ... + X_n ] = Д [X₁] + Д [X₂] + ... + Д [X_n] .

Дисперсия биномиального распределения

Д[X] = npq, где q = 1-p.

Средним квадратичным отклонением с.в. называют арифметический квадратный корень из дисперсии:

[X] = .

ЗАДАЧА № 12

Из партии N деталей имеется m бракованных. Наудачу отобраны 4 детали.

Составить закон распределения дискретной случайной величины Х - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти М[X], Д[X], [X].

Составим закон распределения дискретной случайной величины Х - числа стандартных среди отобранных

Х	0	1	2	3	4
Р	Р1	Р2	Р3	Р4	Р5

В качестве значений Р₁ , Р₂ , Р₃ , Р₄ , Р₅ используем результаты, полученные в задаче № 1, где Р₁ , Р₂ , Р₃ , Р₄ , Р₅ были вычислены.

М[X] = 0 * p₁ +1 * p₂ + 2 * p₃ + 3 * p₄ + 4 * p₅ ;

М[X²] = 0 * p₁ +1 * p₂ + 4 * p₃ + 9 * p₄ + 16 * p₅ ;