Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

1. Однородные уравнения

Общий вид:

у + а₁у + а₂у = 0 . (7)

Составляем характеристическое уравнение:

к² + а₁к + а₂ = 0. (7)

Пусть к₁, к₂ - его корни. Возможны 3 случая:

а) корни вещественные, различные;

б) корни вещественные, равные: к₁ = к₂ = к (2-кратный корень);

в) корни комплексные, сопряженные к_1,2 = а ± iв, где i = ).

Вид общего решения (7) в каждом из этих случаев запишем в табл. 1 .

Таблица 1

Корни к1, к2	Общее решение
(а)	.
(б)	.
(в)	.

Задача № 2

1. у - 4а₁₁² у + 3а₁₁¹у = 0; 2. у + 2а₂₂ у + а₂₂²у = 0;

3. у + а₂₁у = 0; 4. у + а₃₃²у = 0.

1. Характеристическое уравнение: .

Легко находим, что к₁ = 3а₁₁, к₂ = а₁₁ (корни вещественные, различные). Это 1-й случай табл. 1. Тогда - общее решение.

2. Характеристическое уравнение: .

Далее применить табл. 1 и самостоятельно записать у_о.о..

3. Характеристическое уравнение: .

Закончить пример самостоятельно.

4. Характеристическое уравнение: .

Закончить пример самостоятельно.

В следующих примерах найти частные решения д. у. (у_ч.о.), удовлетворяющие заданным начальным условиям.

2. Неоднородные уравнения случай стандартной правой части

Общий вид:

у + а₁у + а₂у = f(x), (8)

где . (9)

Здесь P_m(x) и Q_n(x) - алгебраические многочлены степеней соответственно m и n.

В этом случае общее решение (8) получается как сумма общего решения (7) и какого-либо частного решения (8): у_{о. н.} = у_{о. о.} + у_{ч. н.}.

Покажем, как находить у_{ч. н.}, когда f(х) имеет вид (9). Исходя из конкретного вида (9), составляется число . Далее ставится вопрос: является ли корнем характеристического уравнения (7). Здесь возможны 3 случая, для каждого из которых строится у_{ч. н.}.

Объединим эти случаи в табл.2.

Таблица 2

Число	Вид уч. н.
Не является корнем характеристического уравнения	уч. н. =
Является корнем характеристического равнения кратности 1	уч. н. =
Является корнем характеристического уравнения кратности 2	уч. н. =

Здесь - алгебраические многочлены степени , где

= max(m, n). Коэффициенты находятся методом неопределенных коэффициентов так, как это показано на следующем примере.

Задача № 3

1. ; 2. ;

1. Характеристическое уравнение:

_ч.н. (1)

Подставим (1) в исходное уравнение

.

Отсюда находим А, и у_о.н. = у_о.о. + у_ч.н. .

2. Характеристическое уравнение:

Так как - не является корнем характеристического уравнения, то

у_ч.н. = Ах + В (2)

Подставим (2) в исходное уравнение -2а₁₂А + а²₁₂ (Ах + В ) = а₁₃х + а₂₃,

методом неопределенных коэффициентов находим А и В, и у_о.н. = у_о.о. + у_ч.н. .