Задача № 15

Необходимо произвести статистическую обработку тридцати экспериментальных данных. Требуется определить:

а) построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения относительных частот;

б) выборочную среднюю ;

в) исправленное среднее квадратичное отклонение ;

г) с надежностью  = 0,95 доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х, считая, что она распределена нормально с известным ( в качестве известного взять целую часть - );

д) с надежностью  = 0,99 доверительный интервал для математического ожидания случайной величины Х, распределенной нормально при неизвестном .

Образец расчета

а) дана выборка объема n = 20:

-9,1; -9,1; -7,5; -6,6; -5,8; -4,9; -4,5; -3,3; -2; -2; -1,6; -0,8; -0,8; 0,1; 0,3; 0,9; 2,6; 2,6;

4,3; 7,6.

Для построения гистограммы относительных частот нужно разбить вариационный ряд на интервалы и подсчитать, сколько вариант находится внутри каждого из них. Началом первого интервала следует считать целое число, лежащее левее первой варианты вариационного ряда, а концом - целое число последней варианты. Значит все варианты Х_i будут заключены в интервале

-10  х  -8.

Количество интервалов может колебаться от 5 до 10. Задавая число интервалов, например 6, найдем шаг h - длину интервала; для этого разность Х_max - X_min разделим на число интервалов:

.

Изобразим интервалы на числовой прямой и подсчитаем число n_i - сумму частот вариант в каждом интервале с номером i, считая слева направо.

Х

-10 -7 -4 -1 2 5 8

При i=1 на интервале от -10 до -7 находятся варианты

-9,1; -9,1; -7,5, т.е. n₁ = 3.

При i=2 на интервале от -7 до -4 находятся варианты -6,6; -5,8; -4,5; -4,5, т.е. n₂ = 4.

При i=3 на интервале от -4 до -1 находятся варианты 3,3; -2; -2; -1,6, т.е.

n₃ = 4.

При i=4 на интервале от -1 до 2 находятся варианты -0,8; -0,8; 0,1; 0,3; 0,9, т.е. n₄ = 5.

При i=5 на интервале от 2 до 5 находятся варианты 2,6; 2,6; 4,3, т.е. n₅ = 3.

При i=6 на интервале от 5 до 8 находятся варианты 7,6, т.е. n₆ = 1.

Составляем таблицу и строим гистограмму относительных частот

(табл.1, рис.1).

Таблица 1

№ интервала	1	2	3	4	5	6
ni	3	4	4	5	3	1
Wi=ni / n	0,15	0,2	0,2	0,25	0,15	0,05
Уi=Wi / h	0,05	0,067	0,067	0,083	0,05	0,016

W_i=n_i / n - относительная частота;

У_i=W_i / h - плотность относительных частот.

У_i

0,1

0,08

0,06

0,04

0,02

Х

-10 -7 -4 -1 0 2 5 8

Рис.1. Гистограмма относительных частот

Построим эмпирическую функцию распределения, по формуле (1) (рис.2).

При х ≤ -9,1 левее точки (-9,1) вариант нет, n_x = 0 F^*(x) = 0 / 20 = 0.

При -9,1 ≤ х ≤ 7,5 левее таких х находятся варианты -9,1; -9,1, n_x = 2 F^*(x) = 2 / 20 = 0,1.

При -7,5 < х ≤ -6,6 левее таких х находятся варианты -9,1; -9,1 ; -7,5, n_x = 3 F^*(x) = 3 / 20 = 0,15.

При -6,6 < х ≤ -5,8 левее таких х находятся варианты -9,1; -9,1; -7,5; -6,6,

n_x = 4 F^*(x) = 4 / 20 = 0,2.

При -5,8 < х ≤ -4,9 левее таких х находятся варианты -9,1; -9,1; -7,5; -6,6; -5,8, n_x = 5 F^*(x) = 5 / 20 = 0,25.

При -4,9 < х ≤ -4,5 левее таких х находятся варианты -9,1; -9,1; -7,5; -6,6;

-5,8; -4,9, n_x = 6 F^*(x) = 6 / 20 = 0,3.

При -4,5 < х ≤ -3,5 левее таких х находятся варианты -9,1; -9,1; -7,5; -6,6; -5,8; -4,9; -4,5, n_x = 7 F^*(x) = 7 / 20 = 0,35.

При -3,3 ≤ х ≤ -2, n_x = 8, F^*(x) = 8 / 20 = 0,4.

При -2 < х ≤ -1,6, n_x = 10, F^*(x) = 10 / 20 = 0,5.

При -1,6 < х ≤ -0,8, n_x = 11, F^*(x) = 11 / 20 = 0,55.

При -0,8 < х ≤ -0,1, n_x = 13, F^*(x) = 13 / 20 = 0,65.

При 0,1 < х ≤ 0,3, n_x = 14, F^*(x) = 14 / 20 = 0,7.

При 0,3 < х ≤ 0,9, n_x = 15, F^*(x) = 15 / 20 = 0,75.

При 0,9 < х ≤ 2,6, n_x = 16, F^*(x) = 16 / 20 = 0,8.

При 2,6 < х ≤ 4,3, n_x = 18, F^*(x) = 18 / 20 = 0,9.

При 4,3 < х ≤ 7,6, n_x = 19, F^*(x) = 7 / 20 = 0,95.

При х > 7,6, n_x = 20, F^*(x) = 20 / 20 = 0,1.

1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

X

-9,1 -7,5 -6,6 -5,8-4,9-4,5 -3,5-2-1,6-1 0,1 0,3 0,9 2,6 4,3 7,6

Рис.2. График эмпирической функции

б) вычислим выборочную среднюю :

.

в) вычислим

;

г) в качестве известного  берем  =4. Доверительный интервал, который с надежностью  =0,95 покрывает параметр а, определяется из соотношения:

.

Доверительной вероятности  = 0,95 соответствует t = 1,96 поэтому

-2,01 - 1,96 * и, следовательно, -3,76  а  -0,26;

д) при неизвестном  доверительный интервал, который с надежностью

 = 0,95 покрывает параметр а, определяется из соотношения:

.

По n = 20 и  = 0,95 находим t_ = 2,093 .

Поэтому и, следовательно, -4,09  а  0,07.