Элементы математической статистики

Математическая статистика - это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений с целью выявления существующих закономерностей, научных и практических выводов. Установление закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления, основано на изучении статистических данных - сведений о том, какие значения принял в результате наблюдений интересующий исследователя признак Х.

Различные значения признака Х будем называть вариантами и обозначать Х_1­, Х_2­, Х_3­, ..., Х_k­ , а последовательность вариант, расположенных в порядке возрастания - вариантным рядом. Число, показывающее сколько раз встречается вариант Х_i в ряде наблюдений ( данных опыта), называется частотой и обозначается n_i. Сумма всех частот n_i равна числу наблюдений n ( n = ).

Отношение частоты n_i к общему числу наблюдений обозначается _i = n_i / n и называется относительной частотой.

Перечень вариант Х_i и соответствующих им частот n_i или относительных частот _i будем называть статистическим распределением выборки (независимых данных опыта).

Эмпирической функцией распределения называется функция F^x ( x ) , определяемая равенством - F^x ( x )= n_x / n . (1)

Здесь n_x - число вариант, меньших Х, n - объем выборки. Таким образом, функция

F^x ( x ) определяет относительную частоту случайного признака Х  х для каждого значения х.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны W_i / h ( плотность относительной частоты).

Площадь частичного i - го прямоугольника h = W_i / h, а площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Гистограмма и эмпирическая функция распределения относительных частот являются аналогами плотности распределения вероятностей и интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины.

Предположим, что эмпирическая функция и гистограмма позволили установить (предположить !) вид распределения количественного признака Х. Тогда следует дать оценки параметрам этого распределения: положению центра группирования (математическому ожиданию) и характеристикам рассеивания (дисперсии и среднему квадратичному отклонению).

Точечная статистическая оценка некоторого параметра определяется одним числом. К точечным оценкам предъявляются требования несмещенности, состоятельности и эффективности.

Оценку параметра называют несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т.е.

. (2)

Если равенство (2) будет нарушено, то это может привести к систематическим ошибкам при оценке параметра .

Несмещенную оценку , которая имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра , вычисленных по выборам одного и того же объема, называют эффективной.

Оценку называют состоятельной, если при достаточно большом объеме выборки с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что абсолютная величина разности между оценкой и самим параметром окажется меньше сколь угодно малого положительного числа ε: т. е. <ε.

Несмещенной оценкой математического ожидания признака Х(х₁,х₂, ..,.х_n) является выборочная средняя :

. (3)

Смещенной оценкой признака Х служит выборочная дисперсия Д_в

. (4)

Несмещенной оценкой признака Х служит исправленная выборочная дисперсия S² :

(5)

или

. (6)

Исправленным средним квадратичным отклонением называют

величину :

. (7)

Кроме точечных оценок существуют интервальные.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Задачу интервального оценивания можно сформулировать так: по данным выборки построить числовой интервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью (надежностью) можно сказать, что оцениваемый параметр находится внутри этого интервала.

Доверительным интервалом называют интервал, который с заданной надежностью  покрывает оцениваемый параметр.