37

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Утверждено на заседании кафедры ИСС 19 сентября 2012г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

РЯДЫ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методические указания и

контрольное задание № 2

для студентов заочной ускоренной формы обучения

Ростов-на-Дону

2013

УДК 512.8 (08)

Дифференциальные уравнения. Ряды. Теория вероятностей. Математическая статистика. Методические указания и контрольное задания № 2 для студентов заочной ускоренной формы обучения. – Ростов-н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2013. - 39 c.

Методические указания содержат методы решения заданий, приведены необходимые для этого теоретические сведения. Изложение сопровождается подробным решением типичных примеров. Предназначено для студентов заочной формы обучения специальности ЗПГС, ЗЭУН, ЗМ

Составители:

канд. физ.-мат. наук, доц. А.Е. Богданов

д-р физ.-мат. наук, проф. М.Г. Селезнев

Рецензент

канд. тех. наук, доц. Г.Я. Корабельников

Редактор Н.Е. Гладких

Темплан 2013 г. , поз.91

ЛР 020818 от 13.01.99. Подписано в печать … … 200 . Формат 60х84/16.

Бумага белая. Ризограф. Уч. – изд. л. 2,5. Тираж 50 экз. Заказ

Редакционно-издательский центр Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов н/Д, ул. Социалистическая, 162

 РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, 2013

Контрольная работа № 2 дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Дифференциальными уравнениями ( д. у.) 1-го порядка называются уравнение вида F(x, у, у) = 0 (1)

или у = f(x, у), что можно записать и так: (1)

dу = f(x,у)dx. (1)

Обозначим через Д область существования решения (1) - (1).

Общим решением д.у. (1) - (1) называется функция у = , (2)

где С - произвольная константа, удовлетворяющая условиям:

а) она является решением д.у. при любом С;

б) при любых начальных условиях . (*)

, найдется такое значение С = С₀ , что функция

удовлетворяет условиям (*).

Нахождение такого С = С₀ по условиям (*) называется решением задачи Коши. Найденная таким образом функция называется иначе частным решением д.у.

Если решение д.у. найдено в виде Ф(х, у, С) =0, оно называется общим интегралом этого уравнения.

1. Д.У. С разделяющимися переменными.

Общий вид : m₁(x) * m₂(y) dx + n₁(x) * n₂(y)dx = 0, (m₂(y)  0 и n­₁(x)  0 ). (3)

Разделим переменные: . Тогда является общим интегралом уравнения (3)

2. Однородные д.У.

Общий вид: у = f(x,y), (4)

где f(x,y) - однородная функция “нулевого измерения”, что означает выполнение условия f(tx,ty) = f(x,y) для любого t. (4) может быть приведено к виду (4):

. (4)

Подставной у = u * x приводится к уравнению с разделяющимися переменными : y = ux + u;

3. Линейное д.У. 1-го порядка.

Общий вид:

у + Р(х) * у = Q (х) . (5)

Подстановка y = u * V, где u = u(x), V = V(x); y = uV + uV.

4. Уравнение Бернулли.

Общий вид: y + P(x) * y = Q(x) * yⁿ (6)

(n  0 и n  1). Метод решения - такой же, как линейного уравнения (5).

Задача № 1

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

1. .

Переменные разделились.

Тогда ; .

Закончить самостоятельно.

2. После замены у = t * x, у = tx + t имеем:

учитывая, что ,

Интеграл слева вычислить самостоятельно.

3. 

Это - линейное уравнение, где ,

у = U * V, y = UV + UV,

- уравнение с разделяющимися переменными. Так как то ;

- уравнение с разделяющимися переменными.

Окончательно,

- общий интеграл исходного уравнения (последний интеграл вычислить самостоятельно).

Далее по той же схеме, что и в предыдущем примере (закончить самостоятельно).