3. Депозиты с переменными суммами

Пусть изменяется сумма депозита (вклада, иного счета), на которую начисляются проценты, например, за счет периодического снятия или пополнения счета. В этом случае сумма начисленных простых процентов составит:

Где - остаток средств на счете в момент jпосле очередного поступления или списания средств;

– срок хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете.

В банковской практике сроки измеряют в днях и используют соответствующую формулу для неизменной ставки:

где - число дней в году;

ставка в процентах;

- в днях.

Величину называют процентным числом, а M/i – процентным делителем.

Дисконтирование по простым процентным ставкам.

Определение текущей стоимости при заданной будущей стоимости денежного потока – задача дисконтирования. Это задача, обратная расчету будущей стоимости денежного потока по известным начальным инвестициям.

При заданной дисконтной ставке и планируемой будущей максимальной сумме средств (при этой ставке) , которую должен получить инвестор первоначальный вклад при простом способе начисления процентов (в этом случае про­центы в каждый период времени начисляются на один и тот же первоначальный вклад) можно найти из формулы 6:

(6)

N - здесь число периодов начисления простого процента.

Если время вложения капитала меньше или больше пе­риода начислений процента (т.е. срок ссуды, например, не равен целому числу лет), то имеем:

(7)

где Т - время вложения капитала (дни, месяцы, кварталы);

М- число дней в году, месяцев, кварталов (T и М изме­ряются в одних временных единицах - днях, месяцах, кварталах).

Пример

Депозитный процент банка - 11,5% годовых. Каков должен быть первоначальный вклад, чтобы через 2 года иметь на счете 100 тыс. руб.? Имеем: =100 000; = 0,115; N=2.

=81300,81 руб.

Задача.

Кредит на 180 дней под 24% годовых. Должник должен уплатить 220 тыс. руб. Найти первоначальную сумму кре­дита.

Дисконтирование и накопление финансового капитала (наращивание капитала) по сложным ставкам

1. Накопление по сложным процентным ставкам

1. Накопление по сложным постоянным процентным ставкам

Если проценты в конце каждого периода инвестицион­ного срока прибавляются к основной сумме и полученная сумма является исходной для начисления процентов в сле­дующем периоде, то начисляемые проценты называют сложными.

Этот процесс называют также капитализацией процентов. Проценты не изымаются, а инвестируются, т.е. капитали­зируются, превращаются в капитал, приносящий доход.

Как и для простых процентов:

К_о- начальная сумма (капитал, ссуда, кредит, депозит и т.д.);

- размер вложения капитала к концуt-го периода времени с момента вклада первоначальной суммы;

n -норма доходности, процентная ставка или дисконт­ная ставка (представлена десятичной дробью);

t-время (число дней, месяцев, кварталов, лет или ко­личество оборотов капитала).

Пусть, например, n - процентная ставка по вкладу. Тог­да в конце первого года проценты равны , а накоплен­ная сумма -К_о + , к концу второго года она составит:

К_о + +(K₀ + )n= И т.д.

Общая формула для вычисления будущего капитала (или долга, прироста ВВП и т.д.) дляtпериодов времени (лет, кварталов, месяцев) будет иметь вид:

(1)

Проценты за времяtсоставят:

(2)

Часть процентов, полученная за счет начисления процен­тов на проценты, составляет (надо отнять простые проценты):

(3)

Величину называют множителем наращения.

Рост капитала по сложным процентам представляет со­бой геометрическую прогрессию. Первый ее член равен ,а знаменатель - (1 + п), последний член прогрессии -

Пример

Найти накопленную сумму вклада через 3 года. Перво­начальная сумма вклада - 100 тыс. руб., ставка - 10,5%.

К₀ = 100 тыс. руб; п= 0,105;t =3.

Решение.

K_t= 100 000 (1 + 0,105)³ = 134 923 руб.

Задача

Найти наращенную сумму вклада через 4 года. Перво­начальная сумма вклада - 2 млн. руб., ставка - 15%.

К₀= 2 млн. руб.; n = 0,15;t= 4.