Дисконтирование и накопление денежных средств по простым процентным ставкам

1. Накопление для постоянных ставок и простых процентов

Простые проценты начисляются каждый раз на первоначальную сумму инвестиций (вклада) . Добавочный капитал за периодов начисления и постоянных ставок будет равен:

Откуда следует формула простых процентов для суммарного капитала:

(1)

где - вложенный капитал;

- размер вложения капитала к концу t-го периода времени с момента вклада первоначальной суммы;

n – ставка за соответствующий период начислений (месяц, квартал, год), в долях единицы (если процентная ставка 10%, то n=0,1);

N – число накоплений простого процента;

- прирост капитала;

- множитель наращения.

Пример 1.

Годовые – 16%, сумма первоначального вклада – 10 тыс.руб, начисления – поквартально. Найти сумму вклада за 2,5 года.

Решение: ставка за период начисления (квартал) равно 16% : 4 = 4% или 0,04. Тогда вклад через 10 периодов начисления или через 10 кварталов будет равен:

= 10 000 (1 + 0,004 ) = 14 000 руб.

Задача.

Определим конечную сумму долга, если ссуда равна 100 тыс. руб., срок – 4 года, проценты – простые по ставке 20% годовых.

Если время вложения капитала меньше или больше периода начислений процента (т.е. срок ссуды не равен целому числу лет), то будет:

(2)

где Т – время вложения капитала (дни, месяц, квартал);

М – число дней в году, месяцев, кварталов (Т и М измеряются в одних временных единицах – днях, месяцах, кварталах).

При расчетах по дням используют два варианта процентов:

1. Точные проценты (число дней в году, квартале, месяце: 365 или 366, от 89 до 92, от 28 до 31);

2. Обыкновенные или приближенные проценты (приближенные: число дней в году, квартале, месяце – 360 или 365, 90, 30 или точное число дней ссуды и 360 дней в году). При использовании приближенных или обыкновенных процентов может использоваться как приближенное число дней в году (360), так и точное.

Задача.

Ссуда – 1 млн. руб. с 12 марта с погашением 19 августа того же года. Процентная ставка – 16% годовых. Определить сумму к уплате. Год високосный.

Точное число дней 160.

Приближенное число дней (18 дней марта +30 4+19 дней августа = 157).

2. Накопление средств для переменных ставок и простых процентов

Пусть на период установлена процентная ставка . Приращение капитала за этот период будет . Наращенная сумма капитала составит:

(3)

где - ставка простых процентов в периоде k;

- продолжительность периода с постоянной ставкой .

Полное время равно: , m – число периодов.

Обозначим:

Тогда формула 3 примет вид:

(4)

Таким образом, все перемененные ставки можно заменить эквивалентной процентной ставкой , дающей такой же результат. При этом формула обретает простой стандартный вид.

Перепишем выражение для эквивалентной ставки в виде:

(5)

Эквивалентная ставка равна взвешенной сумме процентных ставок, где весом для каждой ставки служит доля длительности периода которую он составляет от всего срока Т.

Пример.

Депозит – 1 млн. руб. на два года, в первый год процентная ставка – 15% годовых, затем каждые полгода уменьшается на 2%. Определить накопленную (наращенную) сумму за 2 года.

= 1 000 000 (1+1 0,15 +0,5 0,13 +0,5 0,11) = 1 270 000 руб.

По эквивалентной ставке (Т= 2 года) будет:

= (1 0,15 + 0,5 0,13 + 0,5 0,11) = 0,135

= 1 000 000 (1+ 2 0,135) = 1 270 000 руб.

Задача

Величина ссуды – 1 млн. руб. срок ссуды – 3 года, договорная базовая ставка – 10%, годовая маржа (добавка к базовой ставке) в первый год – 1%, в остальные – 1,5%. Определить множитель наращения и конечную сумму.

Множитель наращения: