Вычисление аномалий силы тяжести в редукции Буге

При вычислении аномалий Буге следует различать два случая:

1) точка наблюдения расположена на суше;

2) точка наблюдения расположена на море.

В первом случае для точек 1, 2, 5, 6, расположенных на суше, аномалия Буге вычисляется по формуле:

(2.13)

Для точек 3 и 4, расположенных на море, поправка за влияние промежуточного слоя вычисляется по формуле:

. (2.14)

Аномалия Буге в этом случае вычисляется по формулам (2.13) с учетом , вычисленной по формуле (2.14).

Таблица 2.2

Вычисления

№ точек	м	,	, мГал	мГал	мГал
1	170	0	79,2	-19,0	60,21
2	1807	0	104,3	-202,2	-97,9
3	0	1510	332,3	-103,8	228,5
4	0	115	162,8	-7,9	154,9
5	137	200	-19,5	-15,3	-34,8
6	7	54	49,1	-6,8	42,3

Лабораторная работа № 8 определение фундаментальных геодезических постоянных

Цель. Освоить метод определения сжатия уровенного эллипсоида по измерениям силы тяжести.

Содержание. Определить коэффициенты формулы распределения нормальной силы тяжести.

Вычислить значение сжатия уровенной поверхности двумя методами. Динамический коэффициент ( - две последние цифры шифра).

Методические указания. К выполнению задания следует приступить после изучения § 47, 48 главы VI [1], [14]. Краткие сведения из теории изложены при описании задания № 2 данных методических указаний. Исходные данные для выполнения задания № 3 приведены в приложении 2.

Указания к выполнению задания

1. Значение силы тяжести на поверхности уровенного эллипсоида вычисляется по формуле

(3.1)

Коэффициенты , , относятся к так называемым фундаментальным геодезическим постоянным; - значение нормальной силы тяжести на экваторе, - коэффициент порядка сжатия эллипсоида. Коэффициент относится к постоянным высших порядков, которые уверенно определяются при задании параметров нулевого порядка и порядка сжатия. В формуле (3.1) коэффициент будем считать равным 0.000007. Таким образом в формулу (3.1) входят два неизвестных коэффициента: , . Для их определения нужно иметь значения в двух точках. Но так как нормальную силу тяжести нельзя получить по результатам измерений, то для нахождения неизвестных и используют измерения действительной силы тяжести в точках поверхности Земли. На основании формулы (2.3) можно выразить через результаты измерений:

(3.2)

где - аномалия силы тяжести в редукции за свободный воздух;

- поправка за высоту точки над уровнем моря;

- измеренное значение силы тяжести.

Подставляя выражение (3.2) в (3.1), можно написать

(3.3)

Составим уравнения поправок, введя обозначения:

(3.4)

, (3.5)

где - номер точки с измеренным значением силы тяжести, ;

- число точек с измеренным значением силы тяжести.

Уравнения поправок запишем в матричном виде:

(3.6)

где векторы (матрицы-столбцы)

(3.7)

а матрица (3.8)

2. Составить систему нормальных уравнений под условием .

Число нормальных уравнений равно числу неизвестных.

(3.9)

где матрица

(3.10)

(3.11)

а вектор свободных членов

(3.12)

3. Определить искомые неизвестные, решив систему нормальных уравнений:

(3.13)

где Q – обратная по отношению к N матрица,

(3.14)

4. Определить коэффициенты формулы нормального распределения силы тяжести:

(3.15)

5. Определить сжатие уровенного эллипсоида в соответствии с теоремой Клеро:

(3.16)

где ,

ω- угловая скорость вращения Земли;

- большая полуось эллипсоида Красовского.

6. Определить сжатие уровенного эллипсоида через динамический коэффициент :

(3.16)

7. Оценить точность полученных результатов в соответствии с формулами:

(3.17)

где , - диагональные коэффициенты обратной матрицы .

Решение задания №3

Исходные данные (вариантом №92) приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1

№ точек	B º ‘	ġ-978000 мГал
1	15 11	396,7
2	42 13	1930,2
3	69 02	4531,5
4	27 44	1271,5
5	35 09	1605,2
6	06 49	131,0

1. Составим уравнения поправок.

Величины выражаются в соответствии с формулами (2.5) и выбираются из табл.2.1 (задание № 2). Значения , вычисляются в соответствии с формулами (3.2) и оформлены в виде таблицы 3.2. Поправку ( ) можно выбирать из таблицы П.2.3.

Таблица 3.2

№	,	,	,		,	,	,	,
1	15 11	396,7	-52,5	2	-451	385	-45	0,06860
2	42 13	1930,2	-557,6	7	-2495	2568	94	0,45787
3	69 02	4531,5	-465,7	3	-5000	4890	-89	0,87196
4	27 44	1271,5	-35,5	5	-1312	1214	-76	0,21656
5	35 09	1605,2	-104,0	6	-1715	1859	165	0,33145
6	06 49	131,0	-18,8	0	-150	79	-49	0,01409

Матрица примет вид:

вектор свободных членов:

Уравнение поправок примут вид:

2. Составим систему нормальных уравнений:

3. Вычислим неизвестные, решив систему нормальных уравнений. Решение нормальных уравнений возможно

двумя методами:

- определение неизвестных с помощью программы MathCad;

- вычисление неизвестных с помощью определителей.

Составим определитель системы [14]:

Неизвестные и , а также их весовые коэффициенты находят по формулам:

,

где - определитель соответствующей величины.

Имеем:

Вычислим неизвестные с помощью программы MathCad.

4. Определим коэффициенты формулы нормального распределения силы тяжести:

5. Определим сжатия уровенной поверхности, приняв :

тогда , .

6. Определим сжатие уровенного эллипсоида через динамический коэффициент :

7. Оценим точность полученных результатов:

где - количество измерений ;

- количество неизвестных .

12