1.2 Оптимизация функции полезности

В модели поведения потребителя предполагается, что потребитель сталкивается с множеством альтернатив, которые отражают физические, экономические и институциональные ограничения, накладываемые на его выбор. Теория потребления предполагает, что потребитель, стремясь максимизировать свою полезность в пределах своего бюджетного ограничения (budget constraint), выбирает из множества доступных ему потребительских наборов лучший. Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на все приобретаемые блага должны равняться денежному доходу:

Граница, обеспечивающая это равенство, называется линией бюджетного ограничения. Соотношение цен благ ( ) показывает пропорцию, в которой потребитель готов заместить одно благо другим.

Как правило, потребитель делает выбор не между двумя благами, а значительно большим их числом. В этом случае бюджетные ограничения должны быть выражены гиперплоскостью, которую трудно представить геометрически. Английский экономист Альфред Маршалл (1842 – 1924 гг.) предложил рассматривать выбор потребителя между одним из конкретных благ (х) и набором других благ (у), который получил название маршалловые деньги или композитный товар (composite good). Композитный товар – это количество денег, израсходованных на все другие блага, кроме блага х.

Задачей потребителя является из допустимого множества благ выбрать такой набор , который является самым предпочтительным при заданном бюджетном ограничении. Этот набор называется оптимальным для потребителя, или локальным рыночным равновесием потребителя.

В графическом изображении оптимальный выбор будет находиться в точке касания кривой безразличия с линией бюджетного ограничения. Причем кривая безразличия должна быть обязательно выпуклой к началу координат. В точке касания наклон линии бюджетного ограничения равна наклону кривой безразличия:

.

Рис.1..2 Оптимум потребителя

В аналитической форме задача нахождения оптимального выбора записывается в виде:

при условии

.

Для нахождения оптимума потребителя используется функция Лагранжа:

.

Если функция полезности дифференцируема, то решение задачи оптимального выбора потребителя соответствует условию Куна – Таккера:

,

.

Решение этой системы называется критической точкой функции Лагранжа . Когда существует единственный наилучший потребительский набор, то называются функциями спроса по Маршаллу на блага и y со стороны потребителя. Спрос по Маршаллу является наилучшим потребительским набором при заданном бюджетном ограничении.

В соответствии с условием Куна – Таккера множитель Лагранжа отражает предельную полезность денег и показывает, в какой степени изменяется полезность потребителя при изменении его денежного дохода на одну единицу:

.

Отсюда следует, что предельная норма замещения благ равна соотношению цен на эти блага:

Предельная норма замещения определяет желательность замещения одного блага на другой, а отношение рыночных цен показывает возможность этого замещения. В этом условии имеется два исключения. Первое исключение касается кривой безразличия, имеющей излом. В этом случае к кривой безразличия нельзя провести касательную.

Второе исключение связано угловым оптимумом, то есть с ситуацией, когда одно из благ не потребляется.

Оптимальный выбор

Рис.1.3 Оптимальный выбор для совершенных субститутов

Угловой оптимум возникает и при абсолютных субститутах. Поскольку субституты удовлетворяют одинаковые или сходные потребности, то максимальное удовлетворение полезности потребитель может получить от потребления одного блага.

При угловом оптимуме предельная норма замещения потребителя не равна соотношению цен. Если , то:

.

Предположим, что функция полезности задана функцией Кобба – Дугласа:

.

Бюджетное ограничение имеет вид:

Для нахождения оптимального выбора сначала путем логарифмирования преобразуем функцию Кобба – Дугласа, заданную в мультипликативной форма в аддитивную:

.

Построим функцию Лагранжа:

В соответствии с условием Куна – Таккера:

Подставляя значение λ в уравнения, получаем оптимальное значение х₀ и у₀:

Задача минимизация расходов потребителя при фиксированном уровне полезности математически записывается следующим образом:

Для этой задачи функция Лагранжа имеет следующий вид:

В соответствии с условием Куна – Таккера:

В результате получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными, решая которую находим точку глобального минимума ( ). Если минимизируют расходы потребителя, то согласно условию Куна – Таккера существует множитель, при котором выполняется равенство:

.

Соответственно оптимальным решением минимизации расходов, так же как и при максимизации полезности является равенство предельной нормы замещения между двумя благами и их относительными ценами:

Функции называются функциями спроса по Хиксу на блага и со стороны потребителя или функциями компенсированного спроса. Функция спроса Хикса соответствует потребительскому набору определенной полезности (U), ценам ( ) и наименьшему уровню расходов потребителя. Другими словами спрос по Хикса – это самый дешевый потребительский набор на данной кривой безразличия.

Если подставить функцию спроса по Хиксу в уравнение бюджетного ограничения потребителя, то получим функцию расходов:

Эта функция зависит от уровня цен , полезности и явно не зависит от потребительского набора. Функция расходов является:

1. однородной первой степени по ценам , то есть при изменении цены в той же пропорции изменяется стоимость оптимального набора и соотношение благ:

;

2. возрастающей по уровню полезности, то есть при возрастании полезности потребителю необходимо увеличить свои расходы:

;

3. неубывающей и вогнутой по ценам, потому что при росте цен расходы потребителя возрастают:

;

4. непрерывной, что следует из теоремы о максимуме.

Функция расходов связана с функцией компенсированного спроса Хикса леммой Шепарда. Если функция расходов дифференцируемая, а цены являются положительной величиной, то:

Из оптимального выбора потребителя следует, что полезность зависит не только от потребительского набора , но также от цен благ и дохода. Зависимость полезности от цен благ и дохода называется косвенной функцией полезности:

m

Рис. 1.5 Косвенная функция полезности

Косвенная функция полезности дает эффективный способ описания поведения потребителя на рынке и является:

1. однородной нулевой степени по ценам и доходу, поскольку пропорциональный рост цен и доходов не изменяет функцию;

2. возрастающей по доходу, поскольку при росте дохода потребитель может потребить прежний набор;

3. не возрастающей по ценам, поскольку рост не может сделать доступным потребительский набор большей полезности;

4. непрерывной по ценам и доходу.

Предположим, что функция полезности потребителя имеет вид , а его бюджетное ограничение . Используя условия оптимального выбора и соотношение цен, получаем уравнение кривых Энгеля:

Из уравнения кривых Энгеля можно получить функции спроса на блага х и y:

Для получения уравнения кривой «доход – потребление» необходимо y₀ разделить на x₀ :