4.2. Числові характеристики випадкових величин

Нехай Х – випадкова величина. Якщо вона дискретна, то відомий її ряд розподілу, а якщо неперервна, то щільність розподілу ймовірностей .

Означення. Математичним сподіванням дискретної випадкової величини Х називається сума добутків усіх її можливих значень на їх імовірності:

. (4.1)

Зауваження. Математичне сподівання випадкової величини тісно пов’язане з середнім арифметичним спостережених значень цієї випадкової величини. При великій кількості n відносна частота наближено дорівнює імовірності, тобто в цьому випадку середнє арифметичне спостережених значень випадкової величини наближається до її математичного сподівання.

Означення. Математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х називається невласний інтеграл

. (4.2)

Зауваження. Якщо ряд (4.1) або невласний інтеграл (4.2) не збігається абсолютно, то вважається, що математичне сподівання не існує.

Властивості математичного сподівання.

1. , якщо – стала величина.

2. , якщо – стала величина.

3. Якщо – випадкові величини, то

.

4. Якщо – незалежні в сукупності випадкові величини, то

.

Означення. Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:

. (4.3)

Зауваження. Дисперсія характеризує ступінь розсіювання випадкової величини Х навколо її середнього значення.

Іноді дисперсію зручно обчислювати за такою формулою:

(4.4)

Запишемо формули (4.3) і (4.4) для дискретних та неперервних випадкових величин.

Для дискретної випадкової величини:

або

.

Для неперервної випадкової величини :

або

.

Властивості дисперсії:

1. 

2. , якщо – стала величина.

3. , якщо – стала величина.

4. Якщо X₁, X₂, X₃, …, X_n – незалежні в сукупності випадкові величини, то

.

Означення. Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називається квадратний корінь з її дисперсії:

.

Зауваження. Середнє квадратичне відхилення, як і дисперсія, характеризує ступінь розсіювання випадкової величини Х навколо її середнього значення, причому його розмірність така сама, що й розмірність Х.

Для описання випадкової величини Х застосовуються також моменти порядків k = 1, 2, ... .

Початкові –

Центральні – ,

Зокрема, .

Приклад. Обчислити математичне сподівання і дисперсію величини Z = 2X – 3Y, якщо X і Y – незалежні випадкові величини з характеристиками m_x = 3, m_y = 2, D_x = 4, D_y = 1.

Розв’язання. Згідно з властивостями математичного сподівання та дисперсії будемо мати:

M(Z) = M(2X – 3Y) = M(2X) + M(–3Y) = M(X) – 3M(Y) =

= 23 – 32 = 0.

D(Z) = D(2X – 3Y) = D(2X) + D(–3Y).

Оскільки D(CX) = C²D(X), остаточно отримуємо:

D(Z) = D(2X – 3Y) = D(2X) + D(–3Y) = 4D(X) + 9D(Y) =

= 44 + 91 = 25.

4.3. Основні закони розподілу дискретних випадкових величин

1. Біноміальний закон розподілу.

2. Закон розподілу Пуассона.

3. Геометричний розподіл.

Закон розподілу Х та його математичний запис	Матема- тичне сподівання М(Х)	Дисперсія D(Х)	Середнє квадратичне відхилення
1. Біноміальний
2. Пуассона
3. Геометричний