2. Основні теореми теорії імовірностей

1. Теорема додавання ймовірностей

Теорема. Імовірність суми будь–яких двох подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій без імовірності їх сумісної появи:

.

Наслідок 1. Якщо події А і В несумісні, то імовірність їх суми дорівнює сумі їх імовірностей:

.

Наслідок 2. Імовірність суми будь-якого числа попарно несумісних подій дорівнює сумі їх імовірностей:

.

Наслідок 3. Імовірність суми попарно несумісних подій , які утворюють повну групу, дорівнює одиниці:

.

Наслідок 4. Сума ймовірностей двох протилежних подій дорівнює одиниці:

.

Отже, якщо Р(А)=р, а , то р+q=1.

2. Залежні та незалежні події, умовні імовірності

Означення 1. Дві події називаються незалежними, якщо імовірність появи однієї з них не змінюється в залежності від того, відбулась чи не відбулась інша подія.

Означення 2. Дві події називаються залежними, якщо імовірність появи однієї з них змінюється в залежності від того, відбулась чи не відбулась інша подія.

Означення 3. Імовірність події В, обчислена при умові появи події А, називають умовною імовірністю події В і позначають .

Приклад 1. В урні 12 куль: 5 білих і 7 чорних. Навмання беруть дві кулі. Нехай подія А – взято білу кулю; подія В – взято чорну кулю.

Якщо кулю, яку взяли першою, повертають до урни, то імовірність появи другої кулі не залежить від того, яку саме кулю взято першою.

Якщо першу кулю не повертають до урни, то імовірність другої події залежить від результату першого випробування.

Якщо першою взяли білу кулю, то в урні залишилося 4 білих кулі та 7 чорних, тому

.

Якщо першою взяли чорну кулю, то в урні залишилося 5 білих куль та 6 чорних, тому

.

Отже, імовірність події В залежить від появи або непояви події А, тобто події А та В є залежними.

Зауваження. Якщо події А та В незалежні, то умовна імовірність дорівнює безумовній імовірності, тобто

3. Теорема множення ймовірностей

Теорема. Імовірність добутку двох подій А і В дорівнює добутку імовірності події А на умовну імовірність події В при умові, що подія А відбулась:

.

Наслідок 1. Для добутку двох подій має місце переставний закон, тобто , тому справедлива рівність:

.

Наслідок 2. Імовірність добутку подій обчислюється за формулою:

.

Наслідок 3. Якщо події А і В незалежні, то

.

Означення. Події називаються незалежними в сукупності, якщо незалежні кожні дві з них і незалежні кожна подія та усі можливі добутки інших подій.

Наслідок 4. Якщо події незалежні у сукупності, то

.

4. Імовірність появи хоча б однієї випадкової події

Якщо – сумісні, незалежні у сукупності події, то імовірність події А, яка полягає у появі хоча б однієї з цих подій, можна обчислити за формулою:

. (2.1)

Якщо , то формула (2.1) набуває вигляду:

. (2.2)

Приклад 1. Імовірність влучення в мішень у першого стрілка дорівнює 0,7, у другого стрілка – 0,8, а у третього стрілка – 0,9. Знайти імовірність влучення у мішень хоча б одним стрілком, якщо кожен з них здійснює лише один постріл.

Розв’язання. Позначимо події:

– у мішень влучив перший стрілок;

– у мішень влучив другий стрілок;

– у мішень влучив третій стрілок;

– у мішень влучив хоча б один стрілок.

За умовою задачі події , та – сумісні, незалежні у сукупності. Отже, згідно з формулою (2.2),

.

Так як

то

Тоді

Приклад 2. Працівник обслуговує три станка, що працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що протягом години перший станок не вимагатиме уваги працівника, дорівнює 0,9; для другого та третього станків – 0,8 та 0,85 відповідно. Якою є імовірність того, протягом години:

а) жоден зі станків не вимагатиме уваги працівника;

б) усі три станка вимагатимуть уваги працівника;

в) тільки один станок вимагатиме уваги працівника;

г) тільки два станка вимагатимуть уваги працівника;

д) хоча б один станок вимагатиме уваги працівника.

Розв’язання: Позначимо такі події:

– і-й станок не вимагатиме уваги працівника ( і = 1, 2, 3).

– і-й станок вимагатиме уваги працівника.

,

,

.

а) А – усі три станка не вимагатимуть уваги працівника.

.

б) В – усі три станка вимагатимуть уваги працівника.

в) С – тільки один станок вимагатиме уваги працівника.

г) D – тільки два станки вимагатимуть уваги працівника.

д) Е – хоча б один станок вимагатиме уваги працівника.

Можна також обчислити Р(Е) у такий спосіб: