15. Общие сведения из теории ошибок измерений

При выполнении геодезических работ измеряют углы, длины, превышения, площади и т.п. Процесс измерений неизбежно сопро-вождается ошибками.

Истинной ошибкой  называется разность между результатом измерений l и истинным значением Х измеряемой величины: =l - Х . По этой формуле вычисляются, например:

- угловая невязка в замкнутом

- невязка приращений по оси Х теодолитном

- невязка приращений по оси У ходе

- высотная невязка замкнутого нивелирного хода

Все ошибки подразделяются на три группы: грубые, система-тические и случайные.

Грубые ошибки - промахи, они должны быть устранены путем контрольных измерений и вычислений.

Систематические ошибки подразделяются на постоянные (например, неучет поправки за компарирование ленты) и одно-сторонне действующие (например, неучет поправки за наклон при измерении длин линий). Они могут быть устранены путем введения поправок и применения соответствующих методик измерений.

Случайные ошибки - неустранимы, их влияние может быть уменьшено путем повышения качества приборов.

В данном курсе рассматриваются только случайные ошибки, которые обладают тремя основными свойствами:

1. При данных условиях измерений случайные ошибки по мо-дулю не могут превосходить известный предел.

2. Малые по модулю положительные и отрицательные ошибки равновозможны, причем малые ошибки появляются в измерениях чаще, чем большие.

3. Среднее арифметическое из случайных ошибок равноточных измерений одной и той же величины стремится к нулю при неогра-ниченном возрастании числа измерений (свойство компенсации):

, .

Покажем свойства случайных ошибок на графике. Пусть некоторая величина измерена n раз (при n  ). Нанесем на график результаты измерений l₁ , l₂ , l₃ ,…, l_n .

- _i

+_i

O

X

Из графика видно, что результаты измерений распределены между двумя экстремальными значениями l₁ и l₂ . Точка О (точка наибольшей концентрации) расположена примерно посредине отрезка l₁l₂ . Если величина «начало-О» равняется истинному зна-чению измеряемой величины X, то разности _i = l_i - Х дадут истин-ные случайные ошибки - положительные или отрицательные.

Но истинное значение измеряемой величины бывает известно очень редко, поэтому за вероятнейшее (наиболее надежное) значе-ние измеряемой величины принимается среднее арифметическое, равное сумме результатов измерений, разделенной на их число:

.

При n  , X стремится к истинному значению измеряемой величины.

Разности v_i = l_i - Х называются вероятнейшими ошибками измерений, - это отклонения результатов измерений от простой арифметической середины. Если сложить почленно все разности v_i , то получим [v] = [l] - nX, но [l] = nX , отсюда [v] = 0, то есть алгебра-ическая сумма вероятнейших ошибок равна нулю. Это условие служит контролем правильности нахождения простой арифмети-ческой середины Х и вероятнейших ошибок v_i.

При многократном измерении одной и той же величины для оценки точности отдельного измерения применяется формула Бес-селя, по которой вычисляют среднюю квадратическую ошибку т :

.

Случайные ошибки подчиняются нормальному закону распре- деления Гаусса. На основании этого закона установлено, что из 100 ошибок лишь 30 по модулю больше или равны т , 5 ошибок больше или равны 2т, и только 3 ошибки из 1000 больше или равны 3т . Поэтому на практике за предельную ошибку принимают 2т или 3т.

Средняя квадратическая ошибка M простой арифметической середины равна частному от деления т на корень квадратный из числа измерений n :

.

Таким образом, обработка ряда равноточных измерений одной и той же величины заключается в определении ее вероятнейшего значения X , точности т отдельного измерения и точности М полученного вероятнейшего значения .

Относительной ошибкой называется отношение абсолютной ошибки М к величине X измеряемого объекта:

.

Относительной ошибкой удобно характеризовать точность результатов измерений длин линий, площадей, объемов.

Средняя квадратическая ошибка функции применяется для оценки точности определяемой величины, полученной по резуль-татам измерений других величин. Например, получить объем тела можно, измерив его длину, ширину и высоту.

В общем виде среднюю квадратическую ошибку функции независимых переменных z = f (x , y ,..., t ) вычисляют по формуле :

,

где выражения в скобках представляют собой частные производные.

Примеры: 1. L = l₁ - l₂ + l₃ .

.

2. Д = kn , где k – const .

m_Д = km_n .

3. F = ab .

.

4. i = h/d .

.

Двойные измерения одинаковой точности имеют широкое рас-пространение на практике. Так, длины измеряют в прямом и обрат-ном направлениях, превышения - при двух горизонтах инструмента или по двусторонним рейкам, углы - двумя полуприемами и т.п. Имея большое количество разностей таких однородных измерений, можно определить среднюю квадратическую ошибку отдельного измерения :

m = ,

где d_i = l_i’- l_i - разности двойных измерений одной и той же величины; n - количество таких разностей.

Для исключения влияния систематических ошибок приме-няется формула:

, где .

Неравноточные измерения встречаются на практике тогда, когда одна и та же величина измерена несколько раз, но в различных условиях, приборами различной точности, наблюдателями различной квалификации и т.д. Здесь надежность полученных результатов измерений не одинакова и оценивается математически величиной, называемой весом:

,

где c - число произвольное.

За вероятнейшее значение из ряда неравноточных измерений одной и той же величины принимается весовое среднее, равное сумме произведений каждого измерения на его вес, разделенной на сумму весов :

,

где l_i - результаты измерений; p_i - веса измерений.

Оценку точности неравноточных измерений производят по формулам :

, где _i = l_i - x₀ и M₀ = .

В этих формулах  - средняя квадратическая ошибка единицы веса; _i - вероятнейшие ошибки; p_i - веса отдельных измерений; M₀ - средняя квадратическая ошибка весового среднего.