11.2. Метод эквивалентных синусоид

В цепи, содержащей безынерционные нелинейный элемент, токи содержат высшие гармоники, даже если приложенное к зажимам цепи напряжение синусоидальное. В тех случаях, когда вопрос о форме кривых тока нас не интересует, можно воспользоваться приближенным методом, основанным на замене действительных несинусоидальных кривых тока и напряжения синусоидальными.

Смысл такой замены заключается в возможности записи уравнения в комплексной форме, в построении векторной диаграммы, хотя комплексные сопротивления нелинейных элементов остаются зависящими от тока.

Возможны два подхода: один состоит в замене несинусоидальных кривых тока и напряжения первыми гармониками этих величин – соответствующий метод называется методом гармонической линеаризации. Данный метод применяется при расчете периодических процессов в нелинейных радиотехнических устройствах, например, в ламповых генераторах, при рассмотрении феррорезонансных явлений; второй состоит в замене несинусоидальных кривых тока и напряжения, так называемыми, эквивалентными синусоидами. Действующие значения этих синусоид считаются равными действующим значениям несинусоидальных величин:

; .

Угол сдвига между эквивалентными синусоидами тока и напряжения должен быть таким, чтобы потери в реальной цепи и в цепи с эквивалентными синусоидами были одинаковы.

Широкое применение метод эквивалентных синусоид находит при расчете индуктивных катушек с ферромагнитным сердечником и трансформаторов. В этих случаях одним из условий выбора эквивалентных синусоид тока и напряжения является сохранение потерь в ферромагнитном сердечнике.

11.3. Потери в ферромагнитном сердечнике при периодическом изменении магнитного потока

Эти потери складываются из потерь на вихревые токи и на гистерезис. Сердечники набирают из тонких листов железа, покрытых лаком (рис. 11.3). Лак служит изоляцией, поэтому потери на вихревые токи уменьшаются. Ток i_e, протекающий по катушке, намотанной на сердечник, создает магнитное поле , которое проходит по сердечнику вдоль листов.

Это поле индуцирует в сердечнике вихревой ток. Поперечное сечение этой трубки вихревого тока равно ldx, длина трубки ~ 2h. Поле вихревого тока направленно против поля катушки . Т.о., в сердечнике действует результирующее поле с индукцией . Это результирующее поле распределено неравномерно по полю сердечника, т.к. вихревое поле имеет наибольшее значение вдоль оси сердечника. Здесь мы будем пренебрегать этой неравномерностью и полагать, что всюду по сечению одно и то же.

Рассчитаем ЭДС, индуцируемой вдоль трубки:

,

обозначим , тогда , где - коэффициент формы кривой ЭДС.

Действующее значение ЭДС, индуцируемой вдоль трубки, равно:

,

Коэффициент формы поля:

.

В случае синусоиды ; , , тогда действующее значение равно

.

Потери внутри трубки тока равны: , где - проводимость трубки.

.

Проинтегрируем полученное выражение.

, (11.1)

где V=hld – объем сердечника.

Таким образом, потери на вихревые токи при условии =const пропорциональны квадрату частоты, квадрату амплитуды магнитной индукции, квадрату толщины сердечника и первой степени удельной проводимости. Если сердечник набран из проволок круглого сечения с диаметром d, оси которых направлены вдоль магнитного поля, то в формуле (11.1), вместо 4/3, имеем коэффициент 1/2. Поэтому в общем виде можно записать:

.

Б ыло показано, что ферромагнитный сердечник, находящийся в периодическом изменяющемся во времени внешнем магнитном поле, перемагничивается. Это перемагничивание происходит по гистерезисной петле (рис. 11.4), причем, каждой петле соответствует один период изменения внешнего магнитного поля. Поскольку перемагничивание связано с поворотом элементарных токов (магнитов) тела под действием внешнего магнитного поля, то источнику внешнего магнитного поля приходится совершать работу. Эта работа выделяется в теле в виде потерь, называемых потерями на гистерезис. Эти потери в единице объема тела за один цикл перемагничивания оказываются равными площади гистерезисной петли.

.

Штейнмец предложил экспериментальную формулу вида:

,

где - амплитуда магнитной индукции, - коэффициент, зависящий от рода материала.

Формула Штейнмеца дает удовлетворительное согласие с экспериментом при . При , а также при лучшее приближение дает формула:

_.

Обе формулы можем объединить в одну:

. (11.2)

При большой частоте изменения напряженности магнитного поля вид петли B=f(H) отличается от статической петли гистерезиса, получаемой при медленных изменениях напряженности магнитного поля, т.к. при этом магнитная индукция является функцией не только Н, но и . Причиной этого являются вихревые токи и магнитная вязкость. Площадь динамической петли, выражающей B=f(H), определяет полные потери в единице объема вещества на перемагничивание и на вихревые токи за один период изменения напряженности магнитного поля.

При промышленной частоте (50 Гц) потери на гистерезисе можно вычислить независимо от потерь на вихревые токи на основе формулы (11.2)

.

Таким образом, суммарная мощность потерь в сердечнике определяется по формуле:

.

Определив (например, экспериментально) при двух различных частотах (f₁, f₂) и одном значении магнитной индукции , можно разделить и .

, (11.3)

. (11.4)

Умножим уравнение (11.3) на , а уравнение (11.4) на - , и найдем их разность ( ):

,

Получили формулу для потерь на вихревые токи:

.

Затем умножим уравнение (11.3) на , а уравнение (11.4) на - , и найдем их разность ( ):

,

Получили формулу для потерь на гистерезис:

.