Podstawowe własności wariancji

— D2(X) = E(X2) − (EX)2

— D2(aX + b) = a2D2(X), gdzie a,b ∈ R

— D2(X) більше рівне 0 dla dowolnej zmiennej losowej X

— wariancja jest miarą rozrzutu (rozproszenia) wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej

7.Co to jest dystrybuanta zmiennej Losowej skokowej I ciąglej

Dystrybuanta zmiennej losowej

Niech x oznacza liczbę rzeczywistą, zaś X zmienną losową. Dla każdego x można obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zmienna X przyjmie wartość mniejszą lub równą x:

P(X <= x)

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F określoną na zbiorze liczb rzeczywistych taką, że:

F(x) = P(X <= x)

(2.2.1)

Z określenia dystrybuanty wynikają następujące jej własności:

1) 0 <= F(x) <= 1, dla x Î R

2) lim_x->ooF(x) = 0 oraz lim_x->oo F(x) = 1

3) Dystrybuanta jest funkcją niemalejącą, to znaczy, że dla dowolnych x₁ i x₂ takich, że x₁ < x₂ zachodzi nierówność F(x₁)<=F(x₂).

Uwaga:

W niektórych podręcznikach przy określaniu dystrybuanty wprowadza się zamiast 2.2.1 definicję: F(x) = P (X < x).

Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej X wyraża się wzorem:

(2.4.2)

Funkcja gęstości jest w praktyce ciągła w całym obszarze zmienności X, ewentualnie z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, oraz ma następujące własności:

1) f(x) >= 0 2)  .

Funkcja gęstości pozwala obliczać prawdopodobieństwo, że wartości zmiennej losowej X należą do dowolnego przedziału o końcach a, b:

(2.4.3)

Z powyższego wzoru widać, że prawdopodobieństwo, iż zmienna losowa ciągła przyjmuje wartości z przedziału (a, b) jest równe polu powierzchni pod wykresem funkcji gęstości w przedziale (a, b).

Mamy ponadto bardzo często wykorzystywaną zależność:

P(a < X < b) = F(b) - F(a)

Ponieważ dystrybuanta jednoznacznie określa rozkład zmiennej losowej, zatem rozkład zmiennej losowej ciągłej można opisać albo za pomocą funkcji gęstości prawdopodobieństwa, albo za pomocą dystrybuanty.

Uwaga.

Należy podkreślić, że dla zmiennych losowych ciągłych nie mówi się o prawdopodobieństwie realizacji przez zmienną konkretnej wartości. Ponieważ prawdopodobieństwo, że zmienna losowa ciągła przyjmuje konkretną wartość zawsze równe jest 0: P(X=x₀)= 0

Stąd też:

P(a < X < b) = P(a <=X < b) = P(a < X <=b) = P(a <=X <=b)

8.Co to znaczy że estymator jest zgodny I niobcziążony

Estymator

Załóżmy, że rozkład zmiennej losowej X w populacji generalnej zależy od nieznanego parametru θ.

Estymatorem parametru θ rozkładu zmiennej X nazywamy taką statystykę

będącą funkcją próby losowej pobranej z tej populacji, której rozkład prawdopodobienstwa zależy od szacowanego parametru

Własności estymatorów

+Zgodność

• Nieobciążoność

Zgodność

Estymator parametru θ nazywamy zgodnym, jeżeli jest

stochastycznie (w sensie prawdopodobie?stwa) zbieżny do

szacowanego parametru

Interpretacja:

wraz ze wzrostem liczności próby wzrasta dokładność oszacowania parametru θ.