Ламинарное движение жидкости в трубах

Рассмотрим основные закономерности ламинарного режима при равномерном движении вязкой жидкости в горизонтальных трубах.

Пусть жидкость входит в круглую трубу из резервуара большого размера (рис. 2.14). Во входном поперечном сечении скорости во всех точках будут одинаковы и равны . По мере удаления от входа, вследствие трения у стенок, слои жидкости, прилежащие к стенкам, начинают затормаживаться; толщина этого слоя  постепенно увеличивается, а движение, наоборот, замедляется. Центральная часть потока (ядро течения), ещё не захваченная трением, продолжает двигаться как целое. Поскольку расход жидкости – величина постоянная, уменьшение скорости в пограничном слое приведет к увеличению скорости в ядре потока. Таким образом, в середине трубы, в ядре, скорость течения всё время возрастает, а у стенок, в растущем пограничном слое , уменьшается. Это происходит до тех пор, пока пограничный слой не захватит всего сечения потока, и ядро не будет сведено к нулю. При этом . На этом формирование профиля скоростей заканчивается, в дальнейшем профиль не меняется и принимает форму, характерную для ламинарного режима течения жидкости.

Рис. 2.14. Схема развития начального участка в круглой трубе

Участок трубы, на котором происходит стабилизация профиля скоростей, называется начальным участком или участком гидродинамической стабилизации, дальнейший участок – гидродинамически стабилизированным участком. На стабилизированном участке параметры потока не меняются.

Рассмотрим гидродинамически стабилизированный участок трубы (рис. 2.15).

Запишем уравнение Навье – Стокса для оси x в цилиндрических координатах r, , x:

. (2.30)

Рис. 2.15. Течение жидкости в круглой трубе

Заметим, что для горизонтальной трубы , течение осесимметричное, т.е. dw_x/d = 0; примем, что инерционные силы по сравнению с остальными незначительны: . Тогда из (2.30) получим:

(2.31)

При выводе уравнения Навье – Стокса градиенты давления по осям принимались положительными, а реально давление с ростом x уменьшается. Поэтому можно записать:

Тогда уравнение (2.31) примет вид:

(2.32)

Запишем граничные условия: при –конечная величина

Дважды проинтегрировав уравнение (2.32), получим:

(2.33)

Так как всюду должна иметь конечное значение, а при выражение (2.33) дает , то физически реальный результат получим лишь при . Для определения воспользуемся граничным условием:

Тогда получим:

(2.34)

Таким образом, распределение скоростей по сечению круглой трубы будет параболическим. Максимальное значение скорости получим при , т.е. на оси трубы:

(2.35)

Определим среднее значение скорости . Как известно:

(2.36)

Найдем . Через элементарное кольцо шириной будет проходить количество жидкости, равное (рис. 2.16):

(2.37)

Рис. 2.16. Расход через элементарную площадку

Полный расход через живое сечение трубы будет равен:

(2.38)

Интегрирование (2.38) с учетом (2.34) даст:

(2.39)

Найдем среднее значение скорости , подставляя в (2.36) выражение для расхода :

(2.40)

Сравнивая (2.35) и (2.40), находим, что . Из (2.40) определим перепад (потери) давления :

(2.41)

Формула (2.41) носит название «формула Пуазейля». Этот закон Пуазейлем был установлен экспериментально.

Полученный закон сопротивления (2.41) показывает, что при ламинарном течении жидкости в трубе круглого сечения потери давления на трение пропорциональны вязкости, длине трубы и средней скорости в первой степени и обратно пропорциональны диаметру во второй степени.