7. Эквивалентные бесконечно малые. Таблица эквивалентностей.

Ответ:

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, где а может быть числом или одной из величин , + или -, если .

Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

Пример. Функция f(x) = xⁿ является бесконечно малой при х0 и не является бесконечно малой при х1, т.к. .

Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при ха имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + (x),

где (х) – бесконечно малая при х  а ((х)0 при х  а).

Свойства бесконечно малых функций:

1. Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при ха тоже бесконечно малая функция при ха.

2. Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при ха тоже бесконечно малая функция при ха.

3. Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при ха.

4. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.

Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где

, тогда

f(x)  g(x) = (A + B) + (x) + (x)

A + B = const, (х) + (х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где

, тогда

AB = const, (х) и (х) – бесконечно малые, значит

Теорема доказана.

Таблица эквивалентностей:

8. Свойства функций, имеющих предел (арифметические свойства пределов)

Ответ:

1. , где С = const.

Следующие свойства справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха.

2.

3.

Следствие.

4. при

5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.

Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x)  0, f(x)  0.

6. Если g(x)  f(x)  u(x) вблизи точки х = а и , то и .

9. Переход к пределу в неравенствах для функций. Замена переменной при вычислении пределов.

Ответ:

Предельный переход в неравенстве.    Пусть в некоторой выколотой δ – окрестности точки х₀ функции f (x) и g (x) определены и выполнено неравенство f (x) < g (x). Пусть существуют пределы

и

тогда справедливо неравенство А ≤ B.   Доказательство. Пусть это не так,пусть А > B. Выберем как угодно малое положительное число ε таким, чтобы окрестности точек А и В не пересекались

(A – ε; A + ε ) ∩ (B – ε; B + ε ) ) = Ø

Кроме того по предположению

Знак между интервалами означает, что интервал (A - ε; A + ε) лежит правее интервала (B - ε; B + ε).    Из существования пределов функций f (x) и g (x) в точке х₀ следует

( ε > 0 ) ( δ₁ = δ₁ (ε) > 0, δ₁ < Δ) ( 0 < | x - x₀ | < δ₁ ) : | f (x) – A | < ε,

и

( ε > 0 ) ( δ₂ = δ₂ (ε) > 0, δ₂ < Δ) ( 0 < | x - x₀ | < δ₂ ) : | g (x) – B | < ε,

Если принять δ = min {δ₁,δ₂} < δ, то для 0 < | x - x₀| < δ следует неравенство f (x) > g(x). Но это противоречит условию теоремы, значит, наше предположение А > B неверное.

Часто при вычислении какого-либо предела естественно для упрощения выражения, от которого берётся предел, сделать некоторую замену переменного. Пусть, например, требуется вычислить

Тогда естественно с целью упрощения сделать замену : при этом функция, от которой берётся предел, упростится и будет иметь вид

.

Однако при этом нужно знать, как изменится база предела: что мы должны написать вместо

под знаком предела от функции ?

Рассмотрим общую ситуацию. Пусть (например, для упрощения выражения) предлагается сделать некоторую замену , при этом исходный предел вычислялся при базе , состоящей из некоторых окончаний . Тогда база множеств, которым принадлежит параметр , будет состоять из образов окончаний при отображении их функцией : надо посмотреть, куда перейдёт произвольное окончание старой базы при действии функции . Получится набор множеств , где множества состоят из всех таких точек , что при некотором .

Рис.2.12.Преобразование базы под действием функции