5. Число е (доказательство)

Ответ:

Рассмотрим последовательность {x_n} = .

Если последовательность {x_n} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

Покажем, что последовательность {x_n} – возрастающая. Действительно, запишем выражение x_n+1 и сравним его с выражением x_n:

Каждое слагаемое в выражении x_n+1 больше соответствующего значения x_n, и, кроме того, у x_n+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {x_n} возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: x_n < 3.

Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

Из неравенства следует, что е  3. Отбрасывая в равенстве для {x_n} все члены, начиная с четвертого, имеем:

переходя к пределу, получаем

Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.

Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа:

Предположим:

Найдем

Число е является основанием натурального логарифма.

Выше представлен график функции y = lnx.

6. Определение предела функции. Критерий Коши существования предела функций.

Ответ:

Первое определение предела функции

Это определение часто называют определением предела функции по Гейне.

Точка a называется пределом функции  в точке x0 (или, что то же, при xx0), если для любой последовательности xnX, имеющей своим пределом точку x0, т. е. такой, что

  ,

последовательность  имеет своим пределом точку a, т. е.

  .

В том случае, когда a является пределом функции f в точке x0, пишут  или  при .

Определение предела при заданной функции  содержательно только тогда, когда для точки x0 действительно существуют последовательности точек xnX, имеющие своим пределом (конечным или бесконечным) точку x0: .

Пусть X. Точка x0, для которой существует последовательность xnX, имеющая своим пределом точку x0, называется точкой прикосновения множества X.

Очевидно, что любая точка x0, принадлежащая самому множеству X, является его точкой прикосновения, так как стационарная последовательность x0 = xnX удовлетворяет условиям данного определения: . Но, безусловно, у множеств могут существовать и конечные точки прикосновения, не принадлежащие этим множествам. Так, например, точки x=a и x=b являются точками прикосновения интервала (a, b) и не содержатся в нём.

Существует другое определение предела функции, не использующее понятие предела последовательности, а формулируемое в терминах окрестностей и называемое определением предела функции по Коши.

Сформулируем сначала определение конечного предела в конечной точке.

Число a называется пределом функции f в точке x0, если для любого  > 0 существует такое  = ()>0, что для всех x, удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство .

Такую формулировку определения предела функции называют формулировкой на «языке -».

Бесконечные пределы в точке x0 на языке - определяются следующим образом: + (–) называется пределом функции f в точке , если для любого >0 существует такое  = () > 0 , что для всех x, удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство  ( ).

Аналогичным образом определяется предел функции в бесконечно удалённых точках.

Если функция f непрерывна в точке , то определение непрерывности в символической записи имеет вид:

  .