31. Интегрирование. Первообразная функции и её свойства.

Ответ:

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Неопределенный интеграл.

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Теорема: (Основное свойство первообразной функции)

Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.

Доказательство:

Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J. Допустим существует Φ(х)- другая первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х), тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0, для х Є J. Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на промежутке J. Следовательно, Φ(х)- F(х) = С. Откуда Φ(х)= F(х)+С. Это значит, что если F(х) - первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число. Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

32. Основные свойства неопределённого интеграла. Таблица основыных интегралов.

Ответ:

4. где u, v, w – некоторые функции от х.

Интеграл	Значение	Интеграл	Значение
1	-lncosx+C	9	e^x + C
2	lnsinx+ C	10	sinx + C
3		11	-cosx + C
4		12	tgx + C
5		13	-ctgx + C
6	ln	14	arcsin + C
7		15
8		16