Определение точки перегиба

Точка, в которой функция определена и в которой функция меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба. В окрестности такой точки x₀ график функции y = f (x) слева и справа от точки x₀ имеет разные направления выпуклости. Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает график функции так, что с одной стороны от этой точки график лежит под касательной, а с другой - над нею. В окрестности точки перегиба график функции геометрически переходит с одной сторон касательной на другую и "перегибается" через нее. Отсюда и произошло название "точка перегиба".

Необходимое условие точки перегиба

Теорема. Пусть функция y = f (x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b). Для того, чтобы точка М(x₀, f(x₀)) была точкой перегиба графика функции y = f (x) необходимо, чтобы f " (x₀) = 0. Доказательство. Предположим обратное, пусть f "(x₀) ≠ 0. Тогда в силу непрерывности второй производной по теореме об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки x₀, в которой f ″(x) < 0 (f "(x) > 0), и, значит график функции y = f (x) имеет определенное направление выпуклости в этой окрестности. Но это противоречит наличию перегиба в точке M(x₀; f (x₀ )). Полученное противоречие доказывает теорему. Не всякая точка М (x₀, f (x₀)), для которой f " (x₀) = 0, является точкой перегиба. Например, график функции y = f(x) = x⁴ не имеет перегиба в точке (0; 0), хотя f " (х) = 12·x ² = 0 при х = 0. Поэтому равенство нулю второй производной является лишь необходимым условием перегиба. Точки М (x₀; f (x₀)) графика, для которых f "(x₀) = 0, будем называть критическими. Необходимо дополнительно исследовать вопрос о наличии перегиба в каждой критической точке, для чего следует сформулировать достаточное условие перегиба.

Достаточное условие точки перегиба

Теорема. Пусть функция y = f (x) имеет вторую производную f "(x) в некоторой достаточно малой окрестности точки x₀ интервала (a, b), за исключением, быть может самой точки х₀, а график функции имеет касательную в точке С = (х₀, f (x₀)). Если при переходе через точку х₀ вторая производная f "(x) меняет знак, то точка С является точкой перегиба графика функции y = f (x). Доказательство. Из того, что f "(x) слева и справа от точки x₀ имеет разные знаки, то направление выпуклости графика функции слева и справа от точки x₀ является различным. Это и означает наличие перегиба в точке M(x₀; f (x₀)).

30. Асимптоты графика функции.

Ответ:

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

Вертикальные асимптоты.

Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.

Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.



 P

Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим . Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.

Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = - ордината точки N на асимптоте.