Сандық әдістер кластары

Математикалық тапсырмаларды шешу үшін келесі негізгі әдіс топтары қолданылады: графикалық, аналитикалық, сандық.

Графикалық әдістер кей жағдайларда ізделінді шаманың ретін бағалауға көмектеседі. Бұл әдістердің негізгі мәні – шешімді геометриялық құрулар жолымен табуда. Мысалы, f(x)=0 теңдеуінің түбірлерін табу үшін y=f(x) графигі салынады, графиктің абцисса осімен қиылысу нүктелері ізделінді түбірлер болып табылады.

Аналитикалық әдістерді қолданғанда шешімді формулалар түрінде көрсетуге болады. Егер математикалық тапсырма қарапайым алгебралық немесе трансцеденттік , дифференциялдық теңдеулер т.б. шешуден тұратын болса, онда математика курсынан белгілі тәсілдер жылдам мақсатқа жеткізеді. Өкінішке орай бұл практикада тым сирек жағдайлар. Қарапайым жағдай – квадрат теңдеу және оның түбірлерін табу.

Қазіргі таңда күрделі математикалық теңдеулерді шешуге арналған негізгі құрал сандық әдістер болып табылады. Сонда тапсырманың шешуі соңғы ретте сандармен арифметикалық қимылдарға алып келеді және нәтижесі де сан мәндер түрінде болады. Көптеген сандық әдістер ертеде жасалған, бірақ та қолмен есептеуде олар онша көп еңбекті қажет етпейтін тапсырмалар үшін пайдаланылды. Сандық әдістер теориясында төмендегідей сұрақтар қарастырылады:

• есептеу қателігі және компьютермен есептеуде қателіктер көзі;

• функцияларды апроксимациялау (жақындату) тәсілдері;

• дифференциялдық теңдеулерді шешу үшін айырма схемаларды құруда қолданылатын туындыларды апроксимациялау, сандық интегералдау және сандық дифференциялдау. Қазір тапсырмаларды шешуде кең қолданылатын адаптивті алгоритмдер;

• сызықты алгебраның тапсырмаларын сандық шешу;

• сызықты емес ( алгебралық және трансцеденттік ) теңдеулер мен олардың жүйелерін шешу әдістері;

• сызықты программалау элементтеріне ие оптимизациялау тапсырмаларын шешу әдістері;

• әдеттегі дифференциялдық теңдеулер үшін шектік және Коши есептерін шешу әдістері;

• дербес туындылы теңдеуерді шешудің сандық әдістері және айырма схемалар теориясының элементтері;

• сингулярлық, ғылымның көптеген ( механика,физика және т.б.) салаларына, сонымен қатар жасанды интелект облысы ( жасанды иммунды жүйелер) бойынша интегралдық теңдеулерді шешу;

Тұрақтылық, дұрыстық, жинақтылық түсініктері

Тұрақтылық, дұрыстық және жинақтылық түсініктерін қарастырайық.

Кейбір есептер берілген мәліметтердегі қателіктерге тым сезімтал. Бұл сезімталдық тұрақтылықпен сипатталады.

Есепті шешу нәтижесінде берілген х шамасының мәні бойынша ізделінді у шамасының мәні болсын. Егер берілген шаманың ∆х абсолютті қателігі бар болса, онда шешімнің ∆у қателігі болады. Егер у шешімі х берілген параметрден үздіксіз тәуелді болса, яғни ∆х өсімшесі аз болса ∆у аз болатындай, онда есеп тұрақты дейді. Басқаша айтқанда, берілген мәндегі аздаған қателік нәтижедегі аз қателікке алып келеді. Ал тұрақты болмаса, онда бастапқы аздаған қателіктің өзі үлкен қателік шығарып, қате нәтижеге алып келеді. Мұндай тұрақсыз есептерді бастапқы қателіктерге сезімтал дейді.

Егер мүмкін болатын мәндер облысында берілген кез келген мәнде бұл есептің шешуі бар, ол жалғыз және бастапқы мәндер үшін тұрақты болса, онда есеп дұрыс қойылған дейді. Тұрақсыз есептер дұрыс қойылмаған есептер деп аталады. Бұл есептерді шешу үшін сандық әдістерді қолдану пайдасыз, өйткені есептеу нәтижесіндегі қателіктер есептеу барысында қатты өседі, бұл нәтижелердің тым бұрмалануына алып келеді. Сандық әдіс есептің бастапқы мәндерінің кез келген мәнінде шешуі бар болса және ол жалғыз болса, сонымен қатар бастапқы мәндерге қарағанда тұрақты болса, онда сандық әдіс дұрыс деп аталады.

Есептеу процесінің дәлдігіне сараптама кезінде маңызды критерилердің біріне сандық әдістің жинақтылығы жатады. Ол алынатын сандық шешімнің шын сандық шешімге жуықтығын айқындайды. Жуықтықтың әртүрлі бағалауының қатаң анықтамалары функционалды сараптама аппараты арқылы ғана жасалады.

Итерациялық процестің жинақтылығы ұғымын қарастырайық. Бұл процестің мәні белгілі бір есепті шешу және анықталатын параметрлі ( мысалы, сызықты емес теңдеу түбірлері ) ізделінді шаманы табу үшін реттеп жақындау әдісі құрылады. Осы процесті (итерацияны) көп рет қайталау нәтижесінде Х1,Х2,…,Хn қатары алынады. Бұл қатар Х=a дәл шешіміне жинақталады, егер итерациялардың саны шексіз өскенде қатардың шегі бар болса және а-ға тең болады: lim Xn=a, n→∞ болғанда. Бұл жағдайда жинақталатын сандық әдіс аламыз.

Сонымен есептің шешімін қажетті дәлдікпен алу үшін ол дұрыс қойылуы, ал қолданылатын сандық әдіс тұрақты және жинақты болуы қажет.