Лінійні діофантові рівняння з двома невідомими
Означення. Рівняння виду ах + bу = с називається лінійне діофантове рівняння з двома невідомими, якщо а, b, с – цілі числа, а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0.
Приклад 1:
Приклади лінійних діофантових рівнянь з двома невідомими:
1) 2·х + 3·у = -5, коефіцієнти рівняння а = 2, b = 3, с = -5.
2) –х – 3·у = 10, коефіцієнти рівняння а = -1, b = -3, с = 10.
3) 32·х + 17·у = 3, коефіцієнти рівняння а = 32, b = 17, с = 3.
4) 32/х + 17 у = 30,5 – це недіофантове рівняння (бо коефіцієнти а та b являються нецілими числами), проте це лінійне рівняння відносно двох невідомих х та у.
Зауваження. До виду лінійних діофантових рівнянь з двома невідомими можна звести рівняння виду pх + qу = g, якщо p, q, g – звичайні дроби, p ≠ 0, q ≠ 0, g ≠ 0.
Для цього достатньо: записати всі коефіцієнти звичайними дробами і помножити ліву та праву частину рівняння на спільний знаменник, тобто помножити на найменше спільне кратне коефіцієнтів, НСК(p, q, g). Покажемо це на прикладах.
Приклад 2:
1) x/2 + у/3 = 3/5, коефіцієнти рівняння а = 0,5; b = 1/3; с = 1/5; якщо це рівняння помножити на спільний знаменник 30, і скоротити коефіцієнти, тоді отримаємо лінійне діофантове рівняння з двома невідомими: 15 х + 10 у = 18.
2) -0,25 х – у/6 = 1/12, коефіцієнти рівняння а = -0,25; b = 1/6; с = 1/12; якщо це рівняння помножити на спільний знаменник 12, і скоротити коефіцієнти, тоді отримаємо лінійне діофантове рівняння з двома невідомими: -3 х – 2 у = 1.
3) 1,34 х -4,17 у = 7,3 коефіцієнти рівняння а = 1,34; b = -4,17; с = 7,3; якщо це рівняння помножити на на спільний знаменник 100, тоді отримаємо лінійне діофантове рівняння з двома невідомими: 134 х – 417 у = 730.
Твердження 1. Лінійне діофантове рівняння з двома невідомими ах + bу = с можна розв'язати в цілих числах тоді і тільки тоді, коли число с ділиться націло на НСД(а, b), тобто с: НСД(а, b).
Припустимо, що для лінійного діофантового рівняння з двома невідомими ах + bу = с
виконується умовa: n = a/c; m = b/c. Якщо поділити обидві частини рівняння на число с, тоді отримаємо рівняння виду: nх + mу = 1. Отже маємо більш краще Твердження:
Твердження 2. Лінійне діофантове рівняння з двома невідомими ах + bу = с можна розв'язати в цілих числах тоді і тільки тоді, коли НСД(а, b) = 1, НСД(а, b, с) = 1, тобто, цілі числа а та b – взаємно прості, (не мають спільного дільника, крім 1).
Приклад 3:
Приклади лінійних діофантових рівнянь з двома невідомими:
1) 2·х + 3·у = -5, коефіцієнти рівняння а = 2, b = 3, с = -5, НСД(а, b) = НСД(2, 3) = 1, тому це рівняння має розв'язки в цілих числах.
2) –6·х – 3·у = 10, коефіцієнти рівняння а = -6, b = -3, с = 10, НСД(а, b) = НСД(-6, -3) = 3, тому це рівняння не має розв'язків в цілих числах.
3) 34·х + 17·у = 51, коефіцієнти рівняння а = 34, b = 17, с = 51, поділимо обидві частини даного рівняння на 17, отримаємо рівняння 2·х + 1·у = 3. НСД(2, 1) = 1, при цьому 3: НСД(2, 1), тому це рівняння має розв'язків в цілих числах.
Метод "спуску" для лінійних діофантових рівнянь
Перебір варіантів при вирішенні рівняння в цілих числах часто опиняється вельми трудомістким. Тому розглянемо ще один старовинний прийом – метод "спуску" (або метод розсіювання). Таким методом вирішення невизначених (діофантових) рівнянь першого степеня з цілими коефіцієнтами займалися ще в Стародавній Індії. Цим способом іноді у наш час розв'язують такі рівняння.
Приклад. Розв'язати рівняння в цілих числах:
19·х – 8·у = 13. (1)
Розв'язування. Виражаючи у – невідоме з найменшим за модулем коефіцієнтом через х отримаємо:
у = (19·х – 13):8. (2)
Тепер потрібно з'ясувати, при яких цілих значеннях х відповідні значення у також є цілими числами. Тобто, виділивши цілу частина, запишемо рівняння (2) таким чином:
у = 2·х + (3·х – 13):8. (3)
З рівняння (3) виходить, що у при цілому значенні х матиме ціле значення тільки в тому випадку, якщо вираз (3·х – 13):8 також матиме ціле значення, замінимо цей вираз на ціле число z. Значить
(3·х – 13):8 = z, (4)
зведемо до розв'язування рівняння (4) з двома невідомими х і z, тоді його можна записати так:
3·x – 8·z = 13. (5)
Продовжуючи тим же способом, з рівняння (5) отримаємо:
(8·z + 13):3 = 2·z + (2·z + 13):3. (6)
Виходить, невідоме х приймає ціле значення при цілому z тоді, коли (2 z + 13): 3 прийматиме ціле значення. Нехай цей вираз рівний цілому числу p, отримаємо:
р = (2·z + 13):3, (7)
або 3·р – 2·z = 13. (8)
Далі:
z = (3 р -13):2 = р + (р -13):2 (9).
Аналогічно (4) і (7) (р -13):2 повинно бути цілим числом, підставимо замість цього виразу ціле значення q отримуємо:
q = (р -13):2 (10)
перетворимо
р – 2 q = 13 (11).
З рівняння (11) отримуємо:
р = 2 q + 13 (12).
Відзначимо, що при будь-яких значеннях 2 q матимемо цілі значення p.
З рівності (3), (6), (9), (12) за допомогою послідовних підстановок знаходимо наступні вирази для невідомих х і у рівняння (1):
x = 2 z + p = 2(p + q) + p = 3 p + 2 q = 3(2 q + 13) + 2 q = 8 q + 39
y = 2 x + z = 2(8 q + 39) + p + q = 16 q + 78 + (2 q + 13) + q = 19 q + 91.
Таким чином, формули:
x = 8 q + 39
y = 19 q + 91,
при q = 0… дають можливість знаходити пари чисел, які задовольняють рівняння (1)
Наведемо приклади таких рішень:
q |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
x = 8 q + 39 |
7 |
15 |
23 |
31 |
39 |
47 |
55 |
63 |
71 |
y = 8 q + 91 |
15 |
34 |
53 |
72 |
91 |
110 |
129 |
148 |
167 |
Спосіб знаходження "часткового" розв'язку діофантового рівняння
Для розв'язування лінійного діофантового рівняння з двома невідомими
ах + bу = с
треба помножити все рівняння на спільний знаменник, а потім:
1) перевірити умову розв'язності даного рівняння в цілих числах. Для цього спочатку ділять обидві частини рівняння на число m = НСД(а, b, с), а потім перевіряють умову:
НСД(a/m; b/m) = НСД(p; s) = 1, де a/m = p; b/m = s;
якщо ця умова не виконується, тоді роблять висновок дане рівняння не має розв'язку в цілих числах.
2) якщо рівняння має розв'язок в цілих числах, тоді треба відшукати хоча б одну пару (хо, уо) цілих чисел, яка є розв'язком даного рівняння
ах + bу = с;
(це можна зробити: методом підбору, методом Евкліда, графічним способом та іншими способами.)
3) записати всю множину розв'язків лінійного діофантового рівняння з двома невідомими, як множину цілочисельних пар у вигляді
(хо – ak, уо + bk), де k – довільне ціле число.
Спосіб розкладання одиниці на суму цілочисельних добутків.
При такому способі розв'язання лінійного діофантового рівняння а·х + b·у = с треба:
1) перевірити умову розв'язності даного рівняння;
2) якщо розв'язки існують, тоді знайти за допомогою алгоритму Евкліда цілочисельний розв'язок (n; m) для рівняння: а·х + b·у = 1;
3) рівність а·х + b·у = 1 помножити на ціле число с і отримати: а·(n·c) + b·(m·c) = c, записати цілочисельну пару хо = n·c, уо = m·c, що є розв'язком лінійного рівняння а·х + b·у = с.
4) записати всю множину розв'язків лінійного діофантового рівняння з двома невідомими як множину цілочисельних пар у такому вигляді:
х = n·c – a·k, у = m·c + b·k;
або (хо – a·k, уо + b·k), де k – довільне ціле число.
Приклад 4: Розв'язати рівняння в цілих числах: 3 x + 5 y = 7
Розв'язання:
1) Перевіримо умову розв'язності: коефіцієнти рівняння
а = 3, b = 5, с = 7, НСД(3, 5) = 1,
отже маємо ціле число, якщо 7: НСД(3, 5), тому дане рівняння має множину розв'язків у цілих числах.
2) Знайдемо спочатку який-небудь розв'язок. Тут використаємо таку ідею, до речі, часто допомагає і при розв'язанні інших завдань.
Спочатку знайдемо одну пару цілих чисел (m; n), яка є рівняння розв'язком іншого, легшого рівняння:
3 x + 5 y = 1,
тоді матимемо правильну рівність:
3 m + 5 n = 1,
а для того, щоб знайти один розв'язок (хо, уо) для рівняння
3 x + 5 y = 7,
треба буде помножити правильну рівність
3 m + 5 n = 1 на 7.
Продемонструємо цю ідею на практиці. Оскільки легко встановити, що
3 m + 5 n = 3∙2 + 5∙(-1) = 1, то 3 x + 5 y = 3∙(2∙7) + 5∙(-7∙1) = 1∙7
і, отже,
x0 = 14,
y0 = -7,
це розв'язок даного рівняння (одне з багатьох, не більш!).
3) Отже, маємо дві рівності:
3 x + 5 y = 7,
3x0 + 5y0 = 7,
Віднімемо одне рівняння з іншого, позначимо
x – x0 і у – y0
через p і g, і отримаємо
3 a + 5 b = 0.
Звідси ми бачимо, що b ділиться на 3, а а – на 5. Покладемо p = 5 k, тоді g = 3 k – тут очевидно, що k – може бути будь-яким цілим числом. Отже, ми отримуємо набір розв'язків:
х – x0 = 5 k;
у – y0 = -3 k,
звідси маємо,
x = 14 + 5 k;
y = -7‑3 k,
де k – може бути будь-яким цілим числом. Інших розв'язків, звичайно, немає.
Відповідь: (14 + 5 k; -7 -3 k), де k – довільне ціле число.
Приклад 5:
Розв'язати рівняння в цілих числах
3 x -12 y = 7.
Розв'язання:
1) Це рівняння не має цілих розв'язків. Ліва частина ділиться на 3, бо НСД(3;12) = 3, тоді як права частина не ділиться на 3. Звертаємо вашу увагу, що не виконується умова розв'язності: 7 не ділиться на ціло на 3.
Відповідь: розв'язку в цілих числах рівняння не має.
Приклад 6:
Розв'язати рівняння в цілих числах
1990 x – 173 y = 11.
Розв'язання:
1) Числа, що беруть участь у рівнянні, такі великі, що підбором тут конкретного розв'язку не знайти. Проте нам допоможе те, що числа 1990 і 173 взаємно прості (перевірте це). Це означає, що дане рівняння має розв'язки в цілих числах.
2) Отже, НСД(1990;173) = 1, а це значить, що одиницю можна подати у вигляді суми 1990 m -173 n = 1, де m і n – деякі цілі числа.
Продемонструємо використання алгоритму Евкліда. Більше число 1990 поділимо на 173 стовпчиком, отримаємо неповну частку 11 і остачу 87. Згідно цього маємо рівність
1990 = 173 ∙11 + 87 (або 87 = 1990 -173∙11). (3)
Тепер число 173 поділимо на 87 стовпчиком, отримаємо неповну частку 1, а остачу 86. Згідно цього маємо рівність
173 = 87∙1 + 86 (або 86 = 173‑87∙1). (2)
Далі, число 87 поділимо на 86 стовпчиком, отримаємо неповну частку 1 а остачу 1. Згідно цього маємо рівність
87 = 86∙1 + 1 (або 1 = 87‑86∙1). (1)
Враховуючи рівності (1), (2), (3), які записані в дужках число 1 можна записати отак:
1 = 87‑86 = 87 – (173‑87∙1) = 87∙2‑173∙1 = (1990‑173∙11)∙2‑173∙1 = 1990∙2‑173∙22‑173∙1 = 1990∙2‑173∙23 = 1.
Отже, якщо не вдається легко підібрати конкретний розв'язок, як в даному випадку, то, використовуючи алгоритм Евкліда, можна завжди отримати потрібну пару:
m = 2,
n = 23.
Отже, за допомогою такої могутньої зброї, як алгоритм Евкліда, ми отримуємо конкретне вирішення допоміжного рівняння
1990 m – 173 n = 1:
пару (2, 23).
3) Якщо помножити числа на 11, то отримаємо
x0 = 22,
y0 = 253 -
це цілочисельний розв'язок рівняння
1990 x – 173 y = 11.
Далі отримуємо, згідно формул множину цілих розв'язків:
x = 22 + 173 k;
y = 253 + 1990 k,
k – будь-яке ціле число.
Відповідь: (22 + 173 k; 253 + 1990 k), де k – будь-яке ціле число.
Отже, діофантовими називають алгебраїчні рівняння з раціональними коефіцієнтами з вимогою визначити розв'язки у цілих або раціональних числах. Як правило, діофантові рівняння містять більше однієї невідомої величини, у зв'язку з чим їх ще називають невизначеними рівняннями.
Ми ознайомилися з класом діофантових рівнянь, які є лінійні, тобто це рівняння, які можна звести до вигляду
ax + bx = c, де a, b, c – цілі числа.
Зрозуміло, що коли с не ділиться на спільний дільник чисел а та b, то таке рівняння не має розв'язків у цілих числах. Якщо ж а та b взаємно прості, то існує нескінченна множина розв'язків:
x = xo + bn,
y = yo – an,
де (xo; yo) – який-небудь один (частковий) із розв'язків, n Î Z. Справді, якщо (xo; yo) – розв'язок, ax + by = с. Віднімаючи цю рівність від заданого рівняння, дістанемо
а (х – xo) + b (у – yo) = 0,
звідки
х = x + b (yo-у): a.
Для того, щоб х було цілим, необхідно, щоб другий з доданків останній рівності був цілим числом. Оскільки а та b – взаємно прості, то (yo-у) має ділитися на а. Отже,
yo – у = -аn, n Î Z.
Звідси і знаходимо всі цілочислові розв'язки (х; у) за вказаними вище формулами.
Задача. Розв'язати у цілих числах рівняння 19 х + 97 у = 1997.
Розв'язання. Виразимо х через у: х = (1997‑97 y):19.
Надаватимемо змінній у послідовних значень 0, 1,…, 18, перебираючи всі можливі остачі від ділення 1997‑97 у на 19. Оскільки 19 та 97 – взаємно прості, то 1997‑97 у
ділитиметься на 19 лише для одного такого у. Легко пересвідчитись, що таким значенням є y o = 1. Тоді х o = 100. Отже, всі розв'язки данного рівняння у цілих числах задаються рівностями
х = 100 + 97 n та у = 1-19 n, n Î Z.
Зауважимо, що, виражаючи х через у при розв'язуванні останнього рівняння, ми могли б записати його також у вигляді х = 105‑5 у + (2‑2 y):19.
Зрозуміло, що тоді перевіряти подільність чисельника одержуваного дробу на 19 було б значно простіше.
Задача. Газету розрізали на 7 шматків. Потім вибрали деякі шматки газети і їх теж розрізали на 7 шматків. І продовжили так розрізати ще кілька разів. Чи можна внаслідок таких розрізань отримати 2017 шматків газети?
Розв'язання. Внаслідок розрізання одного шматка газети на сім частин, загальна кількість шматків газети збільшиться на 6. Це є інваріантна величина. Наприклад, внаслідок розрізання цілої газети отримали 1 + 6 шматків. Отже, якщо ми виконаємо n розрізань шматків газети, то внаслідок отримаємо 1 + 6∙n шматків газети. Залишилося розв'язати в цілих числах рівняння 1 + 6∙n = 2017. Отже після 336 розрізань отримаємо 2017.
Відповідь. Можна.
Завдання для самостійного опрацювання:
1. Знайдіть цілі розв'язки рівняння:
1) 21 x + 48 y = 6; 2) 2 x + 8 y = 6; 3) 17 x + 51 y = 68; 4) 6 х – 2 у = 1.
2. Запишіть розв'язки рівнянь в цілих числах:
1) х + 3 у = 5; 2) 2 х – 5 у = 4; 3) 7 х + 2 у = 13 4) – 6 х – 5 у = 1.
3. Розв'язати в цілих числах невизначені рівняння:
1) 12 х + 5 у = 17; 2) 5 х + 7 у = 11; 3) 21 х + 19 у = 73; 4) 15 х – 7 у = 19.
4. Розкласти число 200 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ділилось на 11, а друге – на 13.
5. Розкласти число 800 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ділилось на 17, а друге – на 23.
1 Шифр Лестера Хілла (Lester Hill) – поліграмний шифр підстановки, який базується на лінійній алгебрі. Лестер С. Хілл винайшов цей шифр в 1929, і це був перший шифр, який давав змогу на практиці (хоча і насилу) оперувати більш ніж з трьома символами разом. Подальше обговорення шифру передбачає початкові знання матриць.