1. 5 Примеры решения задач

Предлагается несколько простых примеров решения задач. Следует помнить, что частота, интенсивность от­казов и параметр потока отказов, вычисленные по фор­мулам (1.35), (1.6) и (1.13), являются постоянными в диа­пазоне интервала времени ∆t, а функции , ), – ступенчатыми кривыми или гистограммами. Для удобства изложения в дальнейшем при решении задач на определение частоты, интенсивности и параметра потока отказов по статистическим данным об отказах изделий ответы относятся к середине интервала ∆t. При этом ре­зультаты вычислений графически представляются не в виде гистограмм, а в виде точек, отнесенных к середи­не интервалов ∆t_i и соединенных плавной кривой.

Пример.1

Допустим, что на испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За 3000 ч отказало 80 ламп, требуется определить вероятность безотказной работы P(t) и вероятность отказа Q(t) в течение 3000 ч.

Дано: N = 1000 шт ∆t = 3000 ч n = 80 шт	Решение: ; ; или .
Найти: P(t) , Q(t)

Пример 2 Допустим, что на испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За первые 3000 ч отказало 80 ламп, а за интервал времени 3000-4000 ч отказало еще 50 ламп. Требуется определить частоту f(∆t) и интенсивность λ(∆t) отказов электронных ламп в промежутке времени ∆t = 3000 … 4000 ч.

Дано: N = 1000 шт. ∆t1 = 3000 ч n1 = 80 шт. ∆t2 = [3000,4000] n2 = 50 шт.	Решение: ; ч -1; , где ; шт.; шт; ; ч-1.
Найти: a(∆t2 ), λ(∆t2)

Пример 3

На испытание поставлено N ₀ =400 изделий. За время t= 3000 ч отказало n(t) =200 изделий, за интервал ∆t = 100 ч отказало n(∆t)=100 изделий. Требуется определить вероятность безотказной работы за 3000 ч, вероятность безотказной работы за 3100 ч, вероятность безотказной работы за 3050 ч, частоту отказов f(3050), интенсивность отказа λ(3050).

21

Рис. 1.3 Временной график

Дано: N = 400 шт. t = 3000 ч n = 200 шт. ∆t = 100 ч n(∆t) = 100	Решение: Вероятность безотказной работы определяется по формуле: ; Для t =3000 ч (начало интервала) ; Для t =3100 ч (конец интервала) ;
Найти: Р(3000), Р(3100), Р(3050), f(3050), f(3000), f(3100), λ(3000), λ(3050), λ(3100).

Среднее время исправно работающих изделий в интервале ∆t:

.

Число отказавших за время t=3050 ч

, тогда

.

Определяется частота отказа:

; ; ч^-1.

Так же определяется частота отказов за интервалы 3000 ч и 3100 ч, причем началом интервалов является t = 0

ч¹;

ч^-1.

Определяется интенсивность отказов:

а) в интервале ∆t =3050 ч, ;

λ(3050) = = 0,0067 ч^-1;

б) в интервале ∆t =3000 ч, N_ср (3000) = 400 – 100 = 300 шт;

λ(3000) = = 0,000222 =2,22٠10 ^-4 ч^-1;

в) в интервале ∆t =3100 ч, N_ср (3100) = 400 – 150 = 250 шт;

λ(3100) = = 0,00039 ч^-1.

ч^-1.

б) в интервале ч, шт;

ч^-1;

в) в интервале ч, шт;

ч^-1.

Пример 4

В течение некоторого периода времени производилось наблюдение за работой одного объекта. За весь периодов зарегистрировано n= 15 отказов. До начала наблюдений объект проработал 258 ч, к концу наблюдения наработка составила 1233 ч. Определить среднюю наработку на отказ t_ср.

Пример 5

Производилось наблюдение за работой трех однотипных объектов. За период наблюдения было зафиксировано по первому объекту 6 отказов, по второму - 11 отказов, третьему - 8 отказов. Наработка первого объекта t₁ = 6181 ч, второго t₂ = 329 ч, третьего t₃ = 245 ч. Определить наработку объектов на отказ.

Дано:

N = 3

n₁ = 6

n₂ = 11

n₃ = 8

t₁ = 181 ч

t₂ = 329 ч

t₃ = 245 ч

Решение: 1 вариант решения:

; ;

ч

2 вариант решения:

, , ;

ч; ч; ч;

Найти:

t_ср

ч.

Как видно, у задачи есть два способа решения. Первый основан на использовании общей формулы вычисления средней наработки. Во втором варианте решения применяется более детальный способ. Сначала находится средняя наработка для каждого элемента, а среднее значение этих чисел и есть то, что определяется.

Пример 6

Система состоит из 5 приборов, причем отказ любого одного из них ведет к отказу системы. Известно, что первый отказал 34 раза в течение 952 ч работы, второй – 24 раза в течение 960 ч работы, а остальные приборы в течение 210 ч работы отказала 4, 6 и 5 раз соответственно. Требуется определить наработку на отказ системы в целом, если справедлив экспоненциальный закон надежности для каждого из пяти приборов.

ч ^-1; ч^-1;

или

ч^-1;

тогда интенсивность отказов системы будет

ч^-1;

Средняя наработка на отказ системы равна

ч.

Пример 7

За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зафиксировано 8 отказов. Время восстановления составило: t₁ = 12 мин, t₂ = 23 мин, t₃ = 15 мин, t₄ = 9 мин, t₅ = 17 мин, t₆ = 28 мин, t₇ = 25 мин, t₈ = 31 мин.

Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры.

Дано: n = 8 отказов t1 = 12 мин t2 = 23 мин t3 = 15 мин t4 = 9 мин t5 = 17 мин t6 = 28 мин t7 = 25 мин t8 = 31 мин	Решение: ; мин.
Найти: tср в

Пример 8

Аппаратура имела среднюю наработку на отказ t_cp = 65 ч и среднее время восстановления t_в = 1,25 ч. Требуется определить коэффициент готовности К_г.

Дано: tcp = 65 ч tв = 1,25 ч	Решение: ; .
Найти: Кг

Пример 9

Пусть время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону λ = 2,5 ٠10^-5 ч^-1. Требуется определить вероятность безотказной работы P(t), частоту отказов f(t) и среднюю наработку на отказ t_ср, если t = 500, 1000, 2000 ч.

Решение:

;

;

;

;

;

ч ^-1;

ч ^-1;

ч ^-1;

t_ср = ;

Дано:

λ =2,5٠10 ^-5ч ^-1

t₁ = 500 ч

t₂ = 1000 ч

t₃ = 2000 ч

Найти:

P(t),

f(t),

t_ср

ч.

Пример 10

Время работы изделия до отказа подчиняется закону распределения Рэлея. Требуется определить количественные характеристики: P(t), f(t), λ(t), t_ср, при t₁ = 500 ч, t₂ = 1000 ч, t₃ = 2000 ч, если параметр распределения σ = 1000 ч

;

;

;

;

;

ч^-1;

ч^-1;

;

ч;

ч.

ч.

Пример 11.

Время безотказной работы гироскопического устройства с шарикоподшипниками в осях ротора гироскопа подчиняется закону Вейбулла - Гнеденко с параметрами k = 1,5, λ_о = 10^-4 ч^-1, а время его работы t = 100 ч. Требуется вычислить количественные характеристики надежности такого устройства.

ч^-1

Интенсивность отказов определяется по формуле:

.

ч^-1.

Вычисляется средняя наработка до первого отказа:

.

Сначала вычисляют значение гамма-функции, воспользовавшись справочными данными ([8], таблица П.7.18). В данном случае

.

Значения гамма-функции

х	Г (х)
1,67	0,90330

Полученные данные подставляются в формулу [8]:

ч.

Пример 12.

Известно, что интенсивность отказов λ = 0,02 ч^-1, а среднее время восста

новления t_В = 10 ч. Требуется вычислить коэффициент готовности и функцию готовности изделия.

Функция готовности изделия определяется по формуле:

,

где t-любой момент времени, при t=0 система находится в исправном состоянии,

.

Пример 13.

Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λ _ср = 0,32٠10^-6 ч^-1.

Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 ч.

Дано: N = 12600, λср= 0,32٠10-6 ч-1, t = 50 ч	Решение: Интенсивность отказов системы определяется по формуле: ч-1. Вероятность безотказной работы по экспоненциальному закону равна:
Найти: P(t)

Пример 14.

Система состоит из N = 5 блоков. Надежность блоков характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t, которая равна: p₁(t) = 0,98; p₂(t) = 0,99; p₃(t) = 0,97; p₄(t) = 0,985; p₅(t) = 0,975.

Требуется определить вероятность безотказной работы системы.

Дано: N = 5, p1(t) = 0,98, p2(t) = 0,99, p3(t) = 0,97, p4(t) = 0,985, p5(t) = 0,975	Решение: Необходимо воспользоваться формулой для определения безотказной работы системы: Вероятности p1(t), p2(t), p3(t), p4(t), p5(t) близки к единице, поэтому вычислить Рс(t) удобно, пользуясь приближенной формулой. В данном случае q1=0,02; q2=0,01; q3=0,03; q4=0,015; q5=0,025. Тогда:
Найти: Рс(t)

Пример 15

Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов электронного устройства равна λ₁ = 0,16٠10^-3 ч ^-1 = const. Интенсивности отказов двух электромеханических устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами: λ₂ = 0,23٠10^-4 t ч ^-1, λ₃ = 0,06٠10^-6 t^2,6 ч ^-1.

Нужно рассчитать вероятность безотказной работы изделия в течение 100 ч.

Дано:

N = 3,

λ₁ = 0,16٠10^-3 ч ^-1,

λ₂ = 0,23٠10^-4 t ч ^-1,

λ₃ = 0,06٠10^-6 t^2,6 ч ^-1,

t = 100 ч

Решение:

Так как λ ≠ const, то на основании формулы

можно написать

при t = 100 ч

Р_с (100) = exp [ - ( 0,16٠10^-3 ٠100 + 0,23٠10^-4 ٠ + 0,06٠10^-6 ٠ )] ≈ 0,33.

Найти:

Р(t)

Пример 16

Система состоит из трех блоков, средняя наработка до первого отказа которых равна Т₁ =160 ч, Т₂ = 320 ч, Т₃ = 600 ч. Для блоков справедлив экспоненциальный закон надежности.

Требуется определить среднюю наработку до первого отказа системы.

Пример 17

Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каж

Пример 17

Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них в течение времени t = 100 ч равны: р₁ (100) = 0,95; р₂ (100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти среднюю наработку до первого отказа системы t_{ср с}.

Дано:

N = 2,

t = 100 ч,

р₁ (100) = 0,95,

р₂ (100) = 0,97

Решение:

Определяется вероятность безотказной работы изделия:

.

Определяется интенсивность отказов изделия по формуле

ч^-1,

Найти:

t_cp.c

тогда

ч.

Пример 18

Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна p(t) = 0,9997. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из N = 100 таких же элементов.

Пример 19

Пример 19

Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна Р_с(t) = 0.95. Система состоит из N = 120 равнонадежных элементов. Требуется определить вероятность безотказной работы элемента р_i(t).

Дано:

Р_с(t) = 0.95

N = 120

Решение:

Очевидно, что вероятность безотказной работы элемента будет . Так как близка к единице, то вычисления удобно выполнять по формуле

.

Найти:

Р_i(t)

Тогда

Пример 20.

В системе N_с = 2500 элементов и вероятность безотказной работы ее в течение одного часа Р_с(1) = 98 %. Предполагается, что все элементы равнонадежны и интенсивность отказов элементов λ = 8,4٠10^-6 ч^-1. Требуется определить среднюю наработку до первого отказа системы t_{ср с}.

Дано:

N_с = 2500,

Р_с(1) = 98 %,

λ = 8,4٠10^-6 ч^-1

Решение:

Интенсивность отказов системы определим по формуле:

λ_с = N٠λ = 8,4٠10^-6٠2500 = 0,021 ч^-1,

средняя наработка до первого отказа системы равна:

t_{ср с} = 1/λ_с= 1/0,021 = 47,6 ч.

Найти:

t_{ср с}

Пример 21.

Система состоит из пяти приборов, вероятности исправной работы которых в течение времени t = 100 часов равны: p₁(100) = 0,9996; p₂(100) = 0,9998; p₃(100) = 0,9996; p₄(100) = 0,999; p₅(100) = 0,9998. Требуется определить частоту отказов системы в момент времени t = 100 часов.

Предполагается, что отказы приборов независимы и для них справедлив экспоненциальный закон надежности.

Так как вероятность безотказной работы системы близка к единице, то в соответствии с формулой

,

то интенсивность отказов можно вычислить следующим образом:

ч^-1,

тогда частоту отказов

пределим в соответствии с формулой:

а_с(t) λ_с(1- λ_сt) = 2,2٠10^-5(1-2,2٠10^-5٠100) = 2,195٠10^-5 ч^-1.

Пример 22

Изделие состоит из 12 маломощных низкочастотных германиевых транзисторов, 4 плоскостных кремниевых выпрямителей, 50 керамических конденсаторов, 168 резисторов типа МЛТ, 1 силового трансформатора, 2 накальных трансформаторов, 5 дросселей и 4 катушек индуктивности. Необходимо найти вероятность безотказной работы изделия в течение t =200 часов и среднюю наработку до первого отказа.

Дано:

N₁=12,

N₂=4

N₃ =50

N₄ =168

N₅ =1

N₆ =2

N₇ =5

N₈=4

t =200 ч

Решение.

Для решения данной задачи вычисляются величины интенсивности отказов изделия, затем составляется и заполняется таблица 1.1.Значения интенсивностей отказов элементов выбираются из [8], таблиц П.3.1, П.3.5, П.3.7.

Найти:

Р_с(200),

t_{ср с}

интенсивность отакзов элементов

Таблица 1.1

Наименование и тип элемента	Количество элементов Ni	Интенсивность отказов, 10-5 ч-1	Ni λi 10-5 ч-1
Транзистор маломощный низкочастотный германиевый	12	0,3	3,6
Выпрямитель плоскостной кремниевый	4	0,5	2
Конденсатор керамический	50	0,14	7
Резистор типа МЛТ	168	0,05	8,4
Трансформатор силовой	1	0,3	0,3
Трансформатор накальный	2	0,2	0,4
Дроссель	5	0,1	0,5
Катушка индуктивности	4	0,05	0,2

ч^-1

По данным таблицы и по формуле для экспоненциального закона находится вероятность безотказной работы изделия в течение t = 200 ч и средняя наработка до первого отказа: