Основные теоремы линейного программирования.

Для того, чтобы найти оптимальное решение среди бесчисленного множества допустимых решений системы ограничений, понадобится ряд теорем. Рассмотрим основные теоремы линейного программирования без доказательств.

Теорема 1. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым.

Теорема 2. Если существует, и при том единственное, оптимальное решение задачи линейного программирования, то оно совпадает с одной из угловых точек множества допустимых решений.

Множество решений задачи линейного программирования определяется конечной совокупностью линейных ограничений, поэтому такое множество геометрически представляет собой выпуклый многоугольник, или неограниченную многогранную область, за исключением тех случаев, когда система ограничений несовместна.

Поиски оптимального решения можно ограничить перебором конечного числа угловых точек. Отыскание угловых точек сводится к построению области решений системы ограничений. Это построение возможно только для двух или трехмерного пространства, а в общем случае задача остается неразрешимой , следовательно необходим аналитический метод.

Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка области допустимых решений системы ограничений.

Верно и обратное:

Каждой угловой точке множества допустимых решений системы ограничений соответствует допустимое базисное решение.

Следствие: Если существует, и притом единственное, оптимальное решение задачи

линейного программирования, то оно совпадает с одним из допустимых базисных решений системы ограничений.

Итак, оптимум линейной формы нужно искать среди конечного числа допустимых базисных решений. Однако даже в простейших задачах нахождение оптимального решения путем рассмотрения всех базисных решений является крайне трудоемким процессом, т.к. число базисных решений может быть весьма велико. Поэтому 3 специальные вычислительные методы, позволяющие осуществлять переход от одного допустимого базисного решения к другому, при котором линейная форма или приближается к оптимуму, или по крайней мере не изменяет своего значения. С одним из методом мы познакомимся позже.

Тема №15. Геометрическое решение задач линейного программирования

Неравенство называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени, причем существуют произведения переменных.

В общем виде линейное неравенство с двумя переменными записывается следующим образом:

1. aх₁ + bx₂ + с или

2. ах₁ + bx₂ + с

Каждому решению неравенства, т.е. паре чисел (х₁; х₂) ,

соответствует точка на плоскости.

Геометрический смысл:

Множеством решений линейного неравенства (1) служит одна из двух полуплоскостей, на которые всю плоскость делит прямая ах₁ + Ьх₂ + с = 0, включая и эту прямую, а другая полуплоскость вместе с той же прямой является множеством решений неравенства (2) .

1. Построить множества решений неравенства

3x₁ + 4х₂ - 12 0

Строим прямую 3x₁ + 4х₂ - 12 = 0 по точкам пересечения ее с осями координат: (0; 3) и

(4; 0}.

Для решения строгого неравенства 3x₁ + 4х₂ - 12 > 0 берем точку (0; 0):

3 * 0 + 4 * 0 - 12 > 0, -12 > 0 - не верно => нижняя полуплоскость не может служить множеством решений => решением данного неравенства служит верхняя полуплоскость, содержащая прямую АВ (т.к. знак ).

Пример2.

Построить множество решений системы линейных неравенств

Найдём координаты угловых точек:

1) Строим прямую х₁ + х₂ - 3 = 0 по точкам (0; 3) и (3; 0) , подставляем контрольную точку (0; 0), получаем верное неравенство -3 < 0 => множеством решений данного неравенства является полуплоскость, содержащая начало координат вместе с прямой АВ.

2) Строим прямую х₁ + х₂ - 1 = 0 по точкам (0; 1) и

(1; 0),

в точке (0; 0) получаем неверное неравенство

-1 > 0 => множеством решений является верхняя полуплоскость.

Решением двух первых неравенств является неограниченная полоса между I и II прямыми.

3) Строим прямую х₁ - х₂ = 0. Для нахождения полуплоскости решений строгого неравенства х₁ - х₂ > 0 в качестве контрольной точки возьмем (0; 2); 0 - 2 > 0 - не верно => множеством решений служит нижняя полуплоскость.

Множеством решений системы из трех неравенств является неограниченная часть области между параллельными прямыми, расположенная ниже прямой III.

4) Строим прямую х₁ = 2,5. Значения х₁ < 2,5 лежат левее этой прямой, что и определяет множество решений данного неравенства.

Множеством решений системы из четырех неравенств является выпуклый многоугольник EKBL.

5) Двойное неравенство эквивалентно системе двух

неравенств х₂ 0 и х₂ . Неравенству х₂ соответствует полуплоскость, расположенная ниже прямой х₂ = 1. Неравенству х₂ соответствует полуплоскость, лежащая выше оси абсцисс.

Множество решений системы из всех пяти неравенств - выпуклый многоугольник ABCDEF.

Координаты угловых точек найдем как координаты точек пересечения прямых:

Геометрический метод решения задачи линейного программирования имеет такие узкие рамки применения, что о нем как об особом методе решения говорить нельзя. Однако он позволяет выработать наглядное представление о задачах линейного программирования и геометрически подтвердить основные теоремы линейного программирования.

Строим прямые и находим области допустимых решений:

П ример 1. Найти max функции = х₁ - х₂ при ограничениях

Требуется найти такую точку этого многоугольника, которая бы максимизировала линейную форму

F = х₁ - х₂. Как располагаются на плоскости точки, в которых функция F принимает одно и то же значение? Для ответа на этот вопрос достаточно форму F приравнять какой-то постоянной величине, т.е. F = const = a. Это приводит к уравнению х₁ - х₂ = а, которое является уравнением прямой на плоскости. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых. Каждая из этих прямых называется линией уровня.

На рисунке построена линия xl - х2 = 0, которая соответствует значению

F = 0. При переходе от одной линии уровня к другой значение функции F изменяется (нужно найти max) .

Нужное направление движения исходной линии уровня можно установить следующим образом. Найдем координаты нормального вектора (l; -1} . Из рисунка видно, что значения функции F возрастают при перемещении исходной линии уровня в направлении вектора .

Если бы требовалось найти min функции F, то исходную линию уровня следовало бы передвигать в сторону, противоположную вектору .

Для простоты построения исходной линии уровня за величину a можно взять произведение коэффициентов при переменных в выражении функции F или величину, кратную этому произведению.

Итак, будем передвигать прямую в направлении вектора . Максимальное значение линейной формы в многоугольнике OABCD будет достигнуто в угловой точке С, а далее линия уровня выйдет за пределы многоугольника. Подставим координаты точки С (6; 2) в выражение F и найдем max значение функции:

F = 6 - 2 = 4

Таким образом мы показали, что линейная форма достигает max значения в угловой точке многоугольника решений.