Математическое моделирование

Лабораторная работа №1. Построение линии тренда на основе метода наименьших квадратов (стандартная постановка задачи, точечный МНК, линейные и квадратичные модели)

Задача 1. Для линейной модели значений и , методом наименьших квадратов в стандартной постановке задачи построить линию тренда, прогнозирующую дальнейшую совокупность исходных значений.

Оценить точность решение при

_{Сделать проверку соответствия значений.}

_{Для примерной таблицы значений, находим следующие составляющие:}

	3	4	5	6	7	8
	3,5	4,3	6,8	9,0	10,3	12,7

Решение: находим следующие составляющие:

_{Записываем систему}

_Или

_{Выражая из второго уравнения}

_{Подставляя полученное выражение в первое, получим}

Тогда

Следовательно, искомое уравнение линии тренда примет вид:

Теперь оценим точность данного решения:

В условиях этого примера имеем .

Тогда

Таким образом, подставляя в последнее выражение каждое из значений исходной таблицы, можно оценить на какую величину (в %) данное значение находится от линии тренда.

Задача 2. Точечным методов наименьших квадратов аппроксимировать заданную таблицу линейным и квадратичным полиномами.

xi	3	4	4	5
yi	5	8	7	6

Решение: для линейного полинома

_{, т.е. .}

_{Матрица Ф принимает вид:}

_{Вектор наблюдений y выглядит следующим образом: .}

Тогда

_{, .}

_{Решая систему , получаем вектор искомых коэффициентов}

_,

_,

_{Выражая из второго уравнения , и подставляя его в первое, имеем: , , , .}

_{Тогда .}

_{Таким образом, вектор искомых значений принимает вид , значит искомый полином представляется как}

_{Оценим погрешность такой аппроксимации:}

_.

_{Для квадратичного полинома имеем следующее:}

_{т.е. .}

_{Матрица Ф принимает вид:}

_.

_{Вектор наблюдений y остается без изменений .}

Тогда

_,

_.

_{Решая систему , получаем вектор искомых коэффициентов}

_{, или представляя ее в виде системы уравнений:}

_{Поскольку данная система является квадратной (т.е. число неизвестных равно числу уравнений), то, например, решим ее с помощью метода Крамера.}

_Тогда

_.

_{Таким образом, вектор искомых значений принимает вид , значит искомый полином представляется как .}

_{Оценим погрешность такой аппроксимации:}

_,

_{Следовательно, сравнивая ошибки прогноза для линейного и квадратичного полиномов, в данной случае, предпочтительнее будет линейный полином.}

_{Кроме того, если значения величин значительно отличаются друг от друга, то необходимо использовать квадратичный полином, если различия между ними не существенны - то линейный.}