Решим задачу с использованием симплекс таблицы

Обозначим виды продуктов как А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, А₇ и получим следующую таблицу 3.2:

Таблица 3.2

Тип питательных веществ	Общий количество питательных веществ в день (г)	Технологические коэффициенты
		А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7
I	118	180	190	30	10	260	130	21
II	56	20	3	40	865	310	30	2
III	500	—	—	50	6	20	650	200
IV	8	9	10	7	12	60	20	10
Цена 1кг продуктов (усл. ден. ед.)		1.8	1.0	0.28	3.4	2.9	0.5	0.1

Составить дневной рацион, содержащий не менее минимальной суточной нормы потребности человека в необходимых питательных веществах при минимальной общей стоимости потребляемых продуктов.

Обозначим через х₁, х₂, х₃, х_4, х₅, х₆, х₇, количество кг соответствующих видов продукции А₁, А₂, А₃, А_4, А₅, А₆, А_7, тогда экономико – математическая модель будет следующая: найти минимум функции

при выполнении системы ограничений:

(3.3)

для обращения системы ограничений – неравенств (3.3) в систему уравнений прибавим к левой части каждого неравенства добавочные неотрицательные переменные х₈, х₉, х_10, х₁₁. Эти добавочные переменные в условиях данной задачи имеют конкретное экономическое содержание: объем остатков продуктов каждого вида.

После видения добавочных переменных получим систему уравнений:

(3.4)

Нужно найти такое допустимое базисное решение системы (3.4), которое бы минимизировало целевую функцию F, т.е. необходимо найти оптимальное решение задачи. Так как система ограничений состоит из четырех независимых уравнений с одинадцатью переменными, то число основных (базисных) переменных должно равняться четырем, а число неосновных – семи.

Для решения задачи симплексным методом прежде всего нужно найти любое базисное решение. В условиях данной задачи оно может быть найдено без труда. Для этого достаточно принять за основные добавочные переменные х₈, х₉, х_10, х_11. Так как коэффициенты при этих переменных образуют единичную матрицу, то отпадает необходимость вычислять определитель (определитель единичной матрицы равен 1, т.е. отличен от нуля).

Положив неосновные (свободные) переменные х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆, х₇ равными нулю, получим базисное решение (0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 118; 56; 500; 8), которое оказалось допустимым.

I шаг. Основные переменные X₈, X₉, X₁₀,X₁₁. Составляем первую симплекс-таблицу. Находим разрешающий элемент:

Базисные переменные	Свободные члены	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10	X11
X8	118,00	180,00	190,00	30,00	10,00	260,00	130,00	21,00	1,00	0,00	0,00	0,00
X9	56,00	20,00	3,00	40,00	865,00	310,00	30,00	2,00	0,00	1,00	0,00	0,00
X10	500,00	0,00	0,00	50,00	6,00	20,00	650,00	200,00	0,00	0,00	1,00	0,00
X11	8,00	9,00	10,00	7,00	12,00	60,00	20,00	10,00	0,00	0,00	0,00	1,00
F	0,00	-1,80	-1,00	-0,28	-3,40	-2,90	-0,50	-0,10	0,00	0,00	0,00	0,00

Базисное решение (0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 118; 56; 500; 8).

.

II шаг. Основные переменные х₄, х₈, х₁₀, х₁₁. Составляем новую симплекс-таблицу. Снова находим разрешающий элемент:

Базисные переменные	Свободные члены	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10	X11
X8	117,35	179,77	189,97	29,54	0,00	256,42	129,65	20,98	1,00	-0,01	0,00	0,00
X4	0,06	0,02	0,00	0,05	1,00	0,36	0,03	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
X10	499,61	-0,14	-0,02	49,72	0,00	17,85	649,79	199,99	0,00	-0,01	1,00	0,00
X11	7,22	8,72	9,96	6,45	0,00	55,70	19,58	9,97	0,00	-0,01	0,00	1,00
F	0,22	-1,72	-0,99	-0,12	0,00	-1,68	-0,38	-0,09	0,00	0,00	0,00	0,00

Базисное решение (0; 0; 0; 0,06; 0; 0; 0; 499,61; 7,22).

.

III шаг. Основные переменные х₁, х₄, х₁₀, х₁₁. Переходим к следующей таблице:

Базисные переменные	Свободные члены	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X10	X11
X1	0,65	1,00	1,06	0,16	0,00	1,43	0,72	0,12	0,01	0,00	0,00	0,00
X4	0,05	0,00	-0,02	0,04	1,00	0,33	0,02	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
X10	499,70	0,00	0,13	49,75	0,00	18,05	649,89	200,00	0,00	-0,01	1,00	0,00
X11	1,53	0,00	0,74	5,01	0,00	43,26	13,29	8,95	-0,05	-0,01	0,00	1,00
F	1,34	0,00	0,83	0,16	0,00	0,77	0,86	0,11	0,01	0,00	0,00	0,00

Эта таблица является последней, по ней читаем ответ задачи. Оптимальным будет решение (0,65; 0; 0; 0,05; 0; 0; 0; 0; 0; 499,7; 1,53) при котором F_min = 1,34, т.е. при наименьшей стоимости продуктов питания равной 1,34 денежных единиц, нужно употребить 0,65 единиц продуктов вида A₁, 0,05 единиц продуктов вида A₄, при этом питательные вещества типа I и II будут использованы полностью, а 499,70 единиц питательных веществ типа III, и 1,53 единиц питательных веществ типа IV останутся неизрасходованными.

Составление экономико-математической модели задачи

двойственной к исходной.

Составим и решим симплексным методом задачу. Экономико-математическая модель формулируется так: найти минимум функции , выражающей стоимость потребляемых продуктов, при следующих ограничениях:

(3.5)

Решение задачи симплексным методом привело к следующему результату: минимальное значение функции F, равное 1,34, ден. ед., достигается при оптимальном решении (0,65; 0; 0; 0,05; 0; 0; 0; 0; 0; 499,7; 1,53). Первые семь компонент этого решения дают оптимальный план выпуска продукции, а последние четыре - остатки ресурсов вида I, II, III, IV.

Рассмотрим эту задачу как исходную и составим двойственную ей. Матрица В условий прямой задачи и матрица В’ - транспонированная матрица В - имеют следующий вид:

	180	190	30	10	260	130	21	118		180	20	0	9	1.8
	20	3	40	865	310	30	2	56		190	3	0	10	1.0
B=	0	0	50	6	20	650	200	500		30	40	50	7	0.28
	9	10	7	12	60	20	10	8	B’=	10	865	6	12	4
	1.8	1.0	0.28	3.4	2.9	0.5	0.1	Fmin		260	310	20	60	2.9
										130	30	650	20	0.5
										21	2	200	10	0.1
										118	56	500	8	Zmax

В двойственной задаче нужно найти минимум функции

при ограничениях (3.6)

Систему ограничений-неравенств (3.6) двойственной задачи обратим в систему уравнений:

(3.7)

Применив теперь алгоритм симплекс-метода, решим поставленную задачу и получим

Z_max = 1.34

Вывод: Если задача линейного программирования имеет конечный оптимум, то двойственная к ней также имеет конечный оптимум, и оптимальные значения линейных форм обеих задач совпадают, то есть F_max = Z_min или F_min = Z_max .

Если линейная форма одной из двойственных задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.

Компоненты оптимального решения задачи линейного программирования равны абсолютным величинам коэффициентов при соответствующих переменных в выражении линейной формы двойственной ей задачи при достижении ею оптимума.

Если в одной из задач (прямой или двойственной) нарушается единственность оптимального решения, то оптимальное решение другой задачи будет вырожденным.

Следует, что, решив одну из взаимно двойственных задач, то есть найдя ее оптимальное решение и оптимум линейной формы, мы можем записать оптимальное решение и оптимум линейной формы другой задачи.

Решим задачу контрольного задания с помощью ППП и оформим ее в соответствии с методическими указаниями

Постановка задачи

Предприятие выпускает четыре вида продукции и использует три типа основного оборудования: токарное, фрезерное и шлифовальное. Затраты времени на изготовление единицы продукции для каждого из типов оборудования приведены в таблице 3.3. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия данного вида.

Таблица 3.3

Строчные переменные	Столбцовые переменные							Верхняя граница
	PR1	PR2	PR3	PR4	PR5	PR6	PR7
PRIB	1.8	1	0.28	3.4	2.9	0.5	0.1
Frz	180	190	30	10	260	130	21	118
Tok	20	3	40	865	310	30	2	56
Shl	0	0	50	6	200	650	50	500
obor	9	10	7	12	60	20	9	8

Составить дневной рацион, содержащий не менее минимальной суточной нормы потребности человека в необходимых питательных веществах при минимальной общей стоимости потребляемых продуктов. Используя стандартный пакет прикладных программ найти решение задачи и провести послеоптимизационный анализ.