Основные теоремы двойственности

Теория двойственности в линейном программировании строится на следующих основных теоремах.

Теорема 1. Если задача линейного программирования имеет конечный оптимум, то двойственная к ней также имеет конечный оптимум, и оптимальные значения линейных форм обеих задач совпадают, то есть F_max = Z_min или F_min = Z_max .

Если линейная форма одной из двойственных задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.

Теорема 2. Компоненты оптимального решения задачи линейного программирования равны абсолютным величинам коэффициентов при соответствующих переменных в выражении линейной формы двойственной ей задачи при достижении ею оптимума.

Замечание. Если в одной из задач (прямой или двойственной) нарушается единственность оптимального решения, то оптимальное решение другой задачи будет вырожденным.

Из теорем 1 и 2 следует вывод, что, решив одну из взаимно двойственных задач, то есть найдя ее оптимальное решение и оптимум линейной формы, мы можем записать оптимальное решение и оптимум линейной формы другой задачи.

Теорема об оценках. Значения переменных у_i в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов b_i системы ограничений-неравенств прямой задачи на величину F_max , т. е.

y_i = .

Экономическая интерпретация двойственной задачи

Составим и решим симплексным методом задачу, двойственную задаче об использовании сырья. Экономико-математическая модель формулируется так: найти максимум функции F= 30*х₁ + 20*х₂ max, выражающей прибыль предприятия, при следующих ограничениях:

(2.1)

Решение задачи симплексным методом привело к следующему результату: максимальное значение функции F, равное 70 ден. ед., достигается при оптимальном решении (0; 3,5; 9,5; 1,5; 0). Первые две компоненты этого решения дают оптимальный план выпуска продукции, а последние три - остатки ресурсов видов I, II и III.

Рассмотрим эту задачу как исходную и составим двойственную ей. Матрица В условий прямой задачи и матрица В’ - транспонированная матрица В - имеют следующий вид:

		1	3	20			1	1	8	30
	B=	1	7	26		B’=	3	7	4	20
		8	4	14			20	26	14	Zmin
		30	20	Fmax

В двойственной задаче нужно найти минимум функции

Z = 20y₁ + 26y₂ +14y₃ min

при ограничениях: (2.2)

y_j0

Систему ограничений-неравенств двойственной задачи обратим в систему уравнений:

(2.3)

Запишем соответствующие переменные прямой и двойственной задач:

x1 x2 y4 y5

x3 x4 x5 y1 y2 y3

Компоненты у₁, у₂, у₃ оптимального решения двойственной задачи оценивают добавочные переменные х₃, х₄, х₅ прямой задачи.

Ясно, что ценность того или иного вида сырья будет определяться величиной роста максимальной прибыли при увеличении, например запаса ресурсов i-го вида.

Вывод: Согласно теореме 1 если задача линейного программирования имеет конечный оптимум, то двойственная к ней также имеет конечный оптимум, и оптимальные значения линейных форм обеих задач совпадают, то есть F_max = Z_min или F_min = Z_max .

Если линейная форма одной из двойственных задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы.

Компоненты оптимального решения задачи линейного программирования равны абсолютным величинам коэффициентов при соответствующих переменных в выражении линейной формы двойственной ей задачи при достижении ею оптимума.

Использование пакетов прикладных программ для решения задач линейного программирования

Пакет прикладных программ (ППП) представляет собой набор программ, позволяющий решать определённый класс задач и ориентированный на определённый тип машин. В этом параграфе мы рассмотрим достаточно подробно наиболее часто используемый пакет для решения ЗЛП – LP83.

ППП LP83 предназначается для решения задач под управлением дисковой операционной системы MS DOS. Наряду с возможностями нахождения решения различных задач использование пакета позволяет проводить анализ результатов, получая всевозможные отчёты. Например, можно определить, в каких интервалах могут изменяться коэффициенты целевой функции задачи, с тем чтобы данная задача имела один и тот же оптимальный план. Далее, можно выяснить устойчивость оптимального плана задачи относительно изменения свободных членов системы ограничений, а также других параметров задачи.

Чтобы найти решение конкретной ЗЛП с использованием пакета LP83, нужно определённым образом подготовить исходные данные задачи (см. 6.1), ввести их в ЭВМ с помощью какого-либо текстового редактора в файл с расширением MPS и осуществить управление процессом решения задачи, обеспечив выдачу необходимых результатов.

Таким образом, процесс нахождения решения конкретной ЗЛП с использованием пакета ППП включает следующие этапы:

1. Осуществляют постановку задачи.

2. Составляют экономико-математическую модель (ЭММ) задачи.

3. В соответствии с требованиями ППП элементам модели присваивают определенные имена.

4. Переписывают ЭММ задачи с учетом введённых имён.

5. Составляют матрицу исходных данных.

6. Записывают исходные данные в формате принятом в ППП, и формируют на внешнем носителе текстовый файл с расширением MPS.

7. Запускают ППП и находят решение задачи на ЭВМ.

8. Проводят анализ полученного решения.