Mühazirə 21.Operatorun tərsi

Tutaq ki, fəzasından fəzasına təsir edən operatoru verilmişdir və üçün tənliyinin yeganə həlli var. Aydındır ki, elementinə qarşı (1) tənliyini həll etməklə yeganə elementini uyğun qoya bilərik. Bu qayda ilə qurulan operatora operatorunun tərsi deyilir və kimi işarə olunur. Bu zaman operatoruna dönən operator deyilir.

Teorem. Xətti operatorun tərsi də xəttidir.

İsbatı: Tutaq ki, operatoru xəttidir. Göstərək ki, operatoru da xəttidir. Nöqtələri götürək və işarə edək. Operatoru xətti olduğundan

olar. Həmçinin, göstərmək olar ki, ədədi üçün olar. Bu isə o deməkdir ki, operatoru xəttidir.

Teorem isbat olundu.

Teorem. (Banax) Tutaq ki, Banax fəzasından Banax fəzasına təsir edən operatoru xəttidir, məhduddur və qarşılıqlı birqiymətlidir. Onda operatoru dönəndir və operatoru da məhdud olar.

Mühazirə 22. Güclü diferensial (freşe diferensiali)

Tutaq ki, X və Y normallaşmış fəzalardır. F inikası X fəzasından Y fəzasına təsir edir. x₀ – X fəzasının daxili nöqtəsidir. fəzasından Y fəzasına təsir edən xətti məhdud operatordur. Əgər ədədinə görə ədədi varsa ki, olduqda

olsun. Onda inikası x₀ nöqtəsində güclü diferensiallanan adlanır. Bu zaman operatoruna F inikasının güclü diferensialı deyilir və kimi işarə olunur.

Teorem : İnikasın güclü diferensialı varsa, yeganədir.

Isbatı : Tutaq ki, F inikasının nöqtəsində L₁ və L₂ güclü diferensialları var. Onda tərifə əsasən,

olduğunu alarıq. və operatorları xətti olduğundan axırıncı bərabərlik yalnız olduqda doğrudur. Teorem isbat olundu.

Indi isə, güclü diferensialın bəzi əsas xassələrini qeyd edək:

Xassə 1:Tutaq ki, F inikası sabitdir. Onda olar.

Isbatı : F inikası sabit olduğundan olar. F inikasının güclü diferensialını L ilə işarə edək. Onda tərifə əsasən, operatoru xətti məhdud olduğundan axırıncı bərabərlik yalnız olduqda doğrudur.

Xassə 2: Xətti operatorun güclü diferensialı özünə bərabərdir.

Isbatı : Tutaq ki, F inikası xətti operatordur və L operatoru F –in güclü diferensialıdır. Onda tərifə əsasən,

xətti olduğundan axırıncı bərabərlik yalnız olduqda mümkündür. Xassə isbat olundu.

Xassə 3: Tutaq ki, F inikasının nöqtəsində güclü diferensiallanandır. Onda sabiti üçün inikası da nöqtəsində güclü diferensiallanandır. Bu zaman olar.

Xassə 4: Tutaq ki, inikasları nöqtəsində güclü diferensiallanandır. Onda inikasları da nöqtəsində güclü diferensiallanandır və bu zaman olar.

MÜHAZİRƏ 23. MÜRƏKKƏB İNİKASIN GÜCLÜ DİFERENSİALI

Teorem : Tutaq ki, X , Y və Z normallaşmış fəzalardır. F inikası nöqtəsinin müəyyən ətrafını Y fəzasına köçürür. G inikası nöqtəsinin müəyyən ətrafını Z fəzasına köçürür. F inikası nöqtəsində güclü diferensiallanandır, G inikası isə nöqtəsində diferensiallanandır. Onda mürəkkəb inikası nöqtəsində güclü diferensiallanandır və bu zaman

Isbatı : F inikası da G inikası isə da güclü diferensiallanan olduğundan tərifə əsasən,

götürək. Onda

olduğunu alarıq. Bu isə o deməkdir ki, inikası nöqtəsində güclü diferensiallanandır və bu zaman

Teorem isbat olundu.

MÜHAZİRƏ 24. İNİKASIN ZƏİF DİFERENSİALI(QATO DİFERENSİALI)

Tutaq ki, X normallaşmış fəzasından Y normallaşmış fəzasına təsir edən F inikası verilmişdir və nöqtəsi X çoxluğunun daxili nöqtəsidir. Əgər inikasının nöqtəsində törəməsi varsa, bu törəməyə F inikasının zəif diferensialı deyilir və kimi işarə olunur. Deməli,

Ümumiyyətlə qeyd edək ki, zəif diferensial xətti olmaya da bilər və zəif diferensial üçün mürəkkəb funksiyanın diferensialının hesablanması düsturu doğru olmaya da bilər.

Əgər F inikasının x nöqtəsində zəif diferensialı xətti olarsa, yəni, olarsa, operatoruna F inikasının nöqtəsində zəif diferensialı deyilir.

Qeyd edək ki, həqiqi dəyişənli funksiyalar üçün məlum olan sonlu artımlar düsturunun analoqu zəif törəmə üçün

şəklindədir, burada . Əgər (1) düsturunda

götürsək,

olar.