§ 8. Пример формулы, выполнимой в бесконечной области и невыполнимой ни в какой конечной области

выполнима в бесконечной области и невыполнима ни в какой конечной области.

Допустим, что формула (1) выполнима в некоторой области М. В таком случае должен существовать фикси-

рованный предикат Р (лг, {/) , для которого формула (1)

принимает значение 1. Тогда для всех элементов х, у, г и хотя бы для одного элемента и из области М формула

принимает значение 1. Но в этом случае принимают зна­чение 1 и формулы

Р*(х, у) (2)

Р*(х,х). (3)

Кроме того, для любого х из области М существует хотя бы один элемент и, для которого

Р*(х,и) (4)

тоже принимает значение 1.

Нетрудно убедиться, что в таком случае предикат

Р (х>у) представляет собой предикат, устанавливающий

отношение порядка между элементами области М. Дей­ствительно, из истинности формул (2) и (3) следует, что

предикат Р (х,у) удовлетворяет аксиомам порядка:

1- Р (х,х) – ложь

2. Р*(х, у) ->. [р*(у, г) -> Р*(*,г)) -истина.

. Курс лекций по математической логике

„ОГИКАПРЕДИКАТОВ

103

В связи с этим условимся Р (#, у) выражать слова­ми «х предшествует у». Как видно из истинности форму­лы (4), для каждого х должно существовать такое и, что

истинно Р*(х,и\, то есть «х предшествует и». Возьмем

произвольный элемент области х_г; среди элементов обла­сти должен найтись такой элемент лг₂, что «#, предше­ствует х₂* . Точно также должен найтись такой элемент х_а, что *х₂ предшествует л:₈» и т. д. Получаем последова­тельность элементов

•*•!> ^Х2' '"' ^Хп'"' ( )

В силу аксиом 1 и 2 каждый элемент этой последова­тельности отличен от каждого элемента с меньшим ин­дексом, так как будет иметь место «л^ предшествует л-_п». Но это означает, что любые два элемента последователь­ности (5) различны и область М бесконечна.

Покажем, что существует область, на которой фор­мула (1) выполнима. Пусть М = {0,1,2,...,п,...} , а Р(х,у)

означает «х>у*. Тогда Р(х,у) означает «х<у». При

такой замене предиката Р(х,у) формула (1) принимает вид

УхУу\/гЗи\х < х&((х < у) -» (у < г -» х < г))&(* < и)1

Очевидно, что на множестве М - {0,1,2,..., п,...} эта

формула истинна.

Из доказанного ясно, что, если область, на которой рассматривается формула (1), конечна, то формула (1) тождественно ложна на М, и, значит, не выполнима.

§ 10. Проблема разрешимости для общезначимости и выполнимости, неразрешимость ее в общем случае

(без доказательства)

Проблема разрешимости в логике предикатов ставит­ся так же, как и в алгебре логики: существуют ли алго­ритмы, позволяющие для любой формулы А логики пре­дикатов установить, к какому классу она относится, то

есть является ли она или общезначимой, или выполнимой, или тождественно ложной. Если бы такой алгоритм су­ществовал, то, как и в алгебре высказываний, он сво­дился бы к критерию тождественной истинности любой формулы логики предикатов.

Отметим, что в отличие от алгебры логики, в логике предикатов не применим метод перебора всех вариантов значений переменных, входящих в формулу, так как таких вариантов может быть бесконечное множество.

В 1936 году американский математик А.Черч дока­зал, что проблема разрешимости логики предикатов в общем виде алгоритмически не разрешима, то есть не существует алгоритма, который бы позволил установить, к какому классу формул относится любая формула ло­гики предикатов.