§ 7. Общезначимость и выполнимость формул

Определение 1. Формула А логики предикатов на­зывается выполнимой в области М, если существуют значения переменных, входящих в эту формулу и отне­сенных к области М, при которых формула А принимает истинные значения-.

Определение 2. Формула А называется выполнимой, если существует область, на которой эта формула вы­полнима.

Из определения 2 следует, что, если формула выпол­нима, то это еще не означает, что она выполнима в лю­бой области.

Определение 3. Формула А называется тождествен­но истинной в области М, если она принимает истин­ные значения для всех значений переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к этой области.

Определение 4. Формула А называется общезначи­мой, если она тождественно истинная на всякой области.

Определение 5. Формула А называется тождествен­но ложной в области М, если она принимает ложные значения для всех значений переменных, входящих в эту формулу и отнесенных к этой области.

Из приведенных определений следует:

1. Если формула А общезначима, то она и выполни­ма на всякой области.

2. Если формула А тождественно истинная в области М, то она и выполнима в этой области.

3. Если формула А тождественно ложная в области М, то она не выполнима в этой области.

4. Если формулаА не выполнима, то она тождественно ложна на всякой области.

В связи с данными определениями естественно выде­лить два класса формул логики предикатов: выполни­мых и не выполнимых формул.

Отметим, что общезначимую формулу называют ло­гическим законом.

Приведем соответствующие примеры:

Пример 1. Формула УхЗуР(х, у) выполнима. Дей­ствительно, если Р[х, у) —предикат «х<у*, определен­ный в области м = Е х Е , где Е - {0,1,2,..., п,...} , то фор-

мула УхЗуР(х,у) тождественно истинная в области М, и, следовательно, выполнима в этой области. Однако, если предикат « х < у » рассматривается в конечной об-

ласти М₁ - Е± х Е± , где е! = {0,1,2,..., а] , то формула

Чх~ЗуР(х, «/) будет тождественно ложной в области М^, и, следовательно, не выполнима в области М₁. При этом ясно, что формула УхЗуР(х, у) не общезначима.

р(#)& Р(у И

выполнима.

Пример 2. Формула

Действительно, если р(х) - предикат «Число х - чет­но», определенный в области м = Е х Е • где #= (0,1,2, ...,п,...} , то эта формула тождественно истин-

ная в области М, и, следовательно, выполнима в области М. Однако, если предикат «Число х — четно» рассматри-

вать в области Л/1 = е! х Е± , где Е₁ - множество четных

чисел, то формула 3*Эм р(*)& Р(у) будет тождественно ложной в области М^ и, следовательно, не выполнимой.

100

. Курс лекций по математической логике

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

101

Пример 3. Формула V*\Р(х) v Р(х)\ тождественно ис­тинная в любой области М. Значит, она является обще­значимой, то есть является логическим законом (закон исключенного третьего).

Пример 4. Формула V* [р(#)& Р(#)| тождественно ложная в любой области М, и поэтому она не выполнима.

Легко установить связь между общезначимостью и выполнимостью формул логики предикатов.

Теорема 1. Для того, чтобы формула А была обще­значима, необходимо и достаточно, чтобы ее отрица­ние было не выполнимо.

Доказательство. Необходимость. Пусть формула А

общезначима. Тогда, очевидно, А - тождественно лож­ная формула в любой области, и поэтому формула А не выполнима.

Достаточность. Пусть формула А не выполнима в любой области. Тогда по определению невыполнимой

формулы А — тождественно ложная в любой области. Значит, формула А - тождественно истинная формула в любой области, и, следовательно, она общезначима.

Теорема 2. Для того, чтобы формула А была выпол­нимой, необходимо и достаточно, чтобы формула А была не общезначима.

Доказательство. Необходимость. Пусть формула А выполнима. Это означает, что существует область М и набор значений переменных, входящих в формулуА, при которых формула А принимает истинное значение. Оче­видно, что на этом наборе значений переменных форму­ла А принимает ложное значение, и, следовательно, формула А необщезначима.

Достаточность. Пусть формула А не общезначи­ма. Тогда существует область М и набор значений пере­менных, входящих в формулу, при которых формула А принимает ложное значение. На этом наборе значений переменных формула А принимает значение «истина», и поэтому формула А выполнима.