92

. Курс лекций по математической ловимо

/1ОГИКЛ ПРЕДИКАТОВ

93

§ 5. Значение формулы логики предикатов

О логическом значении формулы логики предика­тов можно говорить лишь тогда, когда задано множе­ство М, на котором определены входящие в эту форму­лу предикаты. Логическое значение формулы логики предикатов зависит от значений трех видов пере­менных: 1) значений входящих в формулу переменных высказываний, 2) значений свободных предметных переменных из множества М, 3) значений предикат­ных переменных.

При конкретных значениях каждого из трех видов переменных формула логики предикатов становится высказыванием, имеющим истинное или ложное зна­чение.

В качестве примера рассмотрим формулу

(1)

в которой двухместный предикат Р(х,у) определен на множестве М ж М , где М = {0,1,2,...,п,...} .

В формулу (1) входит переменный предикат Р(х,у),

предметные переменные х, у, г, две из которых у и г -связанные кванторами, а х - свободная.

Возьмем за конкретное значение предиката Р(х,у) фиксированный предикат Р°(х,у): «х<у», а свобод­ной переменной х придадим значение х° - 5 е М - Тогда при значениях у, меньших х° = 5 предикат .Р⁰(*°,гл при­нимает значение ложь, а импликация р(х, у) -> Р(у, г) при всех г е М принимают значение истина, то есть

высказывание Зу Уг{Р°(х,у}--> Р°(у,ги имеет значение «истина».

§ 6. Равносильные формулы логики предикатов

Определение 1. Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными на области М, если они принимают одинаковые логические значения при всех значениях входящих в них переменных, отнесенных к области М.

Определение 2. Две формулы логики предикатов А я В называются равносильными, если они равносильны на всякой области.

Здесь, как в алгебре высказываний, для равносиль­ных формул принято обозначение А е В .

Ясно, что все равносильности алгебры высказыва­ний будут верны, если в них вместо переменных выска­зываний подставить формулы логики предикатов. Но, кроме того, имеют место равносильности самой логики предикатов. Рассмотрим основные из этих равносиль-ностей. Пусть а{х) и В(х\ — переменные предикаты, а С - переменное высказывание.

Тогда^

15 Формул не от сканировались (писать в ручную )

Равносильность 1 означает тот простой факт, что,

если не для всех х истинно а(х), то существует х, при

котором будет истиной а(#).

Равносильность 2 означает тот простой факт, что, если не существует х, при котором истинно а(х) , то для

всех х будет истиной а(х).

Равносильности 3 и 4 получаются из равносильностей 1. и 2. соответственно, если от обеих их частей взять отри­цания и воспользоваться законом двойного отрицания.

Докажем равносильность 5. Если предикаты а(х) и В(х) одновременно тождественно истинные, то будет тож­дественно истинным и предикат -А(*)& В(я:), а поэтому будут истинными высказывания:

УхА(х), УхВ(х), Чх[А(х)&В(х)]

То есть в этом случае обе части равносильности 5 принимают значение «истина».

Пусть теперь хотя бы один из предикатов, напри­мер, -А(лс), будет не тождественно истинным. Тогда не

тождественно истинным будет и предикат а(д:)& В(лс), а поэтому ложными будут высказывания

УхА(х), УхА(х)&УхВ(х), Ух[А(х)&В(х)],

то есть и в этом случае обе части равносильности 5 при­нимают одинаковые (ложные) значения. Этим исчерпы­вается доказательство равносильности 5.

Докажем равносильность 8. Пусть переменное высказыва­ние С принимает значение «ложь». Тогда тождественно

истинным будет предикат С -> В(х) и, очевидно, истин-

ными будут высказывания С -» У#В(лс) и Ул|С -> В(х)1 ,

то есть в этом случае обе части равносильности 8 прини­мают одинаковые (истинные) значения.

Пусть теперь переменное высказывание С принимает значение «истина». Если при этом переменный предикат является тождественно истинным, то будет тождественно

истинным и предикат С -> -В(лг) , и, значит, истинными

будут высказывания УхВ(х) , С -» УдсВ(дг) , Ух\С ->• В(#)] ,

то есть и в этом случае обе части равносильности 8 при­нимают одинаковые (истинные) значения.

Если же предикат в(х) не является тождественно истинным, то не будет тождественно истинным и преди­кат С -> В(дс) , а поэтому ложными будут высказывания

(лг) , С ->• УхВ(х) , У*[С -> В(х)] .

Следовательно, и здесь обе части равносильности 8 принимают одинаковые (ложные) значения. Этим исчер­пывается доказательство равносильности 8.

Аналогично доказывают остальные из перечислен­ных равносильностей.

В заключение отметим, что формула Удг| а(дг) v В(лс)| не равносильна формуле УхА(я:) v УлгВ(лс) , а формула

зх[а(л:)&в(х)] не равносильна формуле ЗхА(х)& ЗхВ(х) . Однако, справедливы равносильности

\/хА(х) v УхВ(х) з УхА(х) v УуВ(у) з

= Vx(А(x) v УуВ(у)) а Ух\/у(А(х) v В(у)) ,

ЗхА(х)& ЗхВ(х} = ЗхА(х)& ЗуВ(у) = Зх(А(х)&ЗуВ(у)) * ЗхЗу(А(х]&В(у)) .