§ 2. Логические операции над предикатами

Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения а и л (1, 0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

Рассмотрим применение операций логики высказыва­ний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

Пусть на некотором множестве М определены два

предиката р(х) и ^(*)•

Определение 1. Конъюнкцией двух предикатов р(зг)

и Я(х) называется новый предикат р(ж)& ф(*) , который принимает значение «истина» при тех и только тех зна­чениях х е М , при которых каждый из предикатов при­нимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.

Очевидно, что областью истинности предиката

является общая часть областей истинно­сти предикатов р(*) и ф(я) , то есть пересечение IрГ\I^ . Так, например, для предикатов р(х)'- «* ~ четное

число» и 9(ж): «х кратно 3» конъюнкцией Р(#)&(2(лг)

является предикат «.г — четное число и х кратно 3», то есть предикат «х делится на 6».

Определение 2. Дизъюнкцией двух предикатов р(х}

и ^(я^:) называется новый предикат р(х] v 0(х) , который

принимает значение «ложь» при тех и только тех значе­ниях х еМ, при которых каждый из предикатов при­нимает значение «ложь» и принимает значение «исти­на» во всех остальных случаях.

Ясно, что областью истинности предиката р(^х) v Ф(х) является объединение областей истинности предикатов р(зс) и ^(x) , то есть объединение 1р У /д .

Определение 3. Отрицанием предиката ^Р(*) назы-

вается новый предикат р(х) , который принимает значе­ние «истина» при всех значениях х еМ, при которых предикат р(лг) принимает значение «ложь», и принима­ет значение «ложь» при тех значениях х е М , при кото­рых предикат р(х) принимает значение «истина».

Из этого определения следует, что 1р = М \ 1р ~ С1_Р .

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

87

88

Курс лекций по математической логике

Определение 4. Импликацией предикатов р(х) и

ф(#) называется новый предикат Р(х) -> Я(х\, который является ложным при тех и только тех значениях х с М , при которых одновременно р(#) принимает значение

«истина», а ^(x) ~ значение «ложь» и принимает значе­ние «истина» во всех остальных случаях.

Так как при каждом фиксированном х е М спра­ ведлива равносильность р(х) -» ^(*) = р(^х) v ®(^х)» ^то 1р^ = 1р У I^ - С1р У I^. ^"

§ 3. Кванторные операции

Пусть имеется предикат р(ж) , определенный на мно­жестве М. Если а — некоторый элемент из множества М, то подстановка его вместо х в предикат Р(х) превращает

этот предикат в высказывание р(о). Такое высказыва­ние называется единичным. Наряду с образованием из предикатов единичных высказываний в логике преди­катов рассматривается еще две операции, которые пре­вращают одноместный предикат в высказывание.

1. Квантор всеобщности. Пусть р(х) - предикат, определенный на множестве М. Под выражением V* р(я)

понимают высказывание, истинное, когда р(я) истинно

для каждого элемента х из множества М и ложное в про­тивном случае. Это высказывание уже не зависит от ж. Соответствующее ему словесное выражение будет «Для

всякого х р(х\ истинно». Символ V называют кванто­ром всеобщности.

Переменную х в предикате р(х) называют свободной (ей можно придавать различные значения из М), в высказывании V* р(х) переменную ж называют связанной, квантором V.