
- •Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения
- •Прикладная информатика
- •Этапы разработки программного обеспечения
- •2. Постановка задачи
- •3. Анализ, формальная постановка и выбор метода решения
- •4. Разработка алгоритмов решения задачи
- •5. Реализация
- •Тестирование разработанных программных модулей
- •Пример разработки алгоритма
- •8. Примеры программ, реализующих рассмотренный алгоритм
- •Пример возможного выполнения раздела «Анализ, формальная постановка и выбор метода решения»
- •Численное решение нелинейных уравнений
- •1. Понятия и определения
- •§ 2. Методы уточнения корней
- •1. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)
- •2. Метод хорд
- •3. Метод Ньютона (метод касательных)
- •4. Модифицированный метод Ньютона
- •5. Метод секущих
- •6. Метод простых итераций
- •Задание на курсовую работу по дисциплине «Информатика» ( далее ссылки на литературу приведены по литературе, указанной в Приложении 2)
2. Метод хорд
Р
ассматриваемый
метод так же, как и метод половинного
деления, предназначен для уточнения
корня на интервале
,
на концах которого функция
принимает значения разных знаков.
Очередное приближение в отличие от
метода половинного деления берем не в
середине отрезка, а в точке
,
где пересекает ось абсцисс прямая линия
(хорда), проведенная через точки А
и В (рис. 2.6).
Запишем уравнение прямой, проходящей через точки А и В:
.
Для
точки пересечения прямой с осью абсцисс
(
)
получим уравнение
.
(2.13)
В
качестве нового интервала для продолжения
итерационного процесса выбираем тот
из двух
и
,
на концах которого функция
принимает значения разных знаков. Для
рассматриваемого случая (рис. 2.6) выбираем
отрезок
,
так как
.
Следующая итерация состоит в определении
нового приближения
как точки пересечения хорды
с осью абсцисс и т.д.
Заканчиваем процесс уточнения корня, когда расстояние между очередными приближениями станет меньше заданной точности, т.е.
(2.14)
или при выполнении условия (2.12).
Ø
Замечание. Метод
половинного деления и метод хорд очень
похожи, в частности, процедурой проверки
знаков функции на концах отрезка. При
этом второй их них в ряде случаев дает
более быструю сходимость итерационного
процесса. Однако в некоторых случаях
метод хорд может сходится существенно
медленнее метода половинного деления.
Такая ситуация показана на рис. 2.7. Оба
рассмотренных метода не требуют знания
дополнительной информации о функции
.
Например, не требуется, чтобы функция
была дифференцируема. Даже для разрывных
функций рассмотренные методы обладают
гарантированной сходимостью. Более
сложные методы уточнения корня используют
дополнительную информацию о функции
,
прежде всего свойство дифференцируемости.
Как результат они обычно обладают более
быстрой сходимостью, но в то же время,
применимы для более узкого класса
функций, и их сходимость не всегда
гарантирована. Примером такого метода
служит метод Ньютона.<
3. Метод Ньютона (метод касательных)
Пусть нам известно начальное приближение к корню (вопрос выбора начального приближение будет подробно рассмотрен ниже). Проведем в этой точке касательную к кривой (рис. 2.8). Эта касательная пересечет ось абсцисс в точке , которую будем рассматривать в качестве следующего приближения. Значение легко найти из рисунка:
,
выражая отсюда , получим
.
Аналогично могут быть найдены и следующие приближения. Формула для k+1-го приближения имеет вид
,
(2.15)
Из формулы (2.15) вытекает условие применимости метода: функция должна быть дифференцируемой и в окрестности корня не должна менять знак.
Для окончания итерационного процесса могут быть использованы условия (2.12) или (2.14).
Ø
Замечание 1. В
методе Ньютона, в отличие от предыдущих
методов, не обязательно задавать отрезок
,
содержащий корень уравнения, а достаточно
найти некоторое начальное приближение
корня
.<
Ø Замечание 2. Формула метода Ньютона может быть получена и из других соображений. Зададимся некоторым начальным приближением корня . Заменим функцию f(x) в окрестности точки отрезком ряда Тейлора:
,
и вместо нелинейного уравнения решим линеаризованное уравнение
рассматривая его решение как следующее (первое) приближение к искомому значению корня. Решение этого уравнение очевидно:
Повторяя это процесс приходим к формуле Ньютона (2.15).<
Сходимость
метода Ньютона. Выясним основные
условия сходимости последовательности
значений
,
вычисляемых по формуле (2.15), к корню
уравнения (2.1). Предполагая, что
дважды непрерывно дифференцируема,
разложим
в ряд Тейлора в окрестности k-го
приближения
.
Разделив
последнее соотношение на
и перенеся часть слагаемых из левой
части в правую, получим:
.
Учитывая,
что выражение в квадратных скобках
согласно (2.15) равно
,
переписываем это соотношение в виде
.
Отсюда
.
(2.16)
Из (2.16) следует оценка
,
(2.17)
где
,
.
Очевидно, что ошибка убывает, если
.
(2.18)
Полученное условие означает, что сходимость зависит от выбора начального приближения.
Оценка (2.17) характеризует скорость убывания погрешности для метода Ньютона: на каждом шаге погрешность пропорциональна квадрату погрешности на предыдущем шаге. Следовательно, метод Ньютона обладает квадратичной сходимостью.
В
ыбор
начального приближения в методе Ньютона.
Как следует из условия (2.18) сходимость
итерационной последовательности,
получаемой в методе Ньютона, зависит
от выбора начального приближения
.
Это можно заметить и из геометрической
интерпретации метода. Так, если в качестве
начального приближения взять точку
(рис. 2.9), то на сходимость итерационного
процесса рассчитывать не приходится.
Если же в качестве начального приближения выбрать точку , то получим сходящуюся последовательность.
В
общем случае, если задан отрезок
,
содержащий корень, и известно, что
функция
монотонна на этом отрезке, то в качестве
начального приближения
можно выбрать ту границу отрезка
,
где совпадают знаки функции
и второй производной
.
Такой выбор начального приближения
гарантирует сходимость метода Ньютона
при условии монотонности функции на
отрезке локализации корня.