11. Мера Лебега линейного ограниченного множества и ее свойства.
Определение1. Если внутренняя мера mA ограниченного множества А равна внешней мере m* А множества А, то множество А называется измеримым по Лебегу, а общее значение внутренней и внешней мер называется мерой Лебега множества А и обозначается mA.
ТЕОРЕМА Ограниченное счетное множество измеримо по Лебегу и его мера Лебега равна нулю.
Замечание. Любое конечное множество измеримо по Лебегу и его мера Лебега равна нуль.
ТЕОРЕМА
2
Ограниченное
замкнутое множество F
измеримо по
Лебегу и его мера Лебега
равна мере замкнутого множества
.
Доказательство.
Из всех
замкнутых множеств, содержащихся в
множестве
,
наибольшую меру имеет само множество
.
Поэтому
.
Значит,
.
Теорема доказана.
ТЕОРЕМА
3
Ограниченное
открытое множество G
измеримо по Лебегу и его мера Лебега
равна мере открытого множества
.
свойства:
ТЕОРЕМА
4
(Полная
аддитивность меры Лебега).
Если ограниченное множество А является
объединением конечного или счетного
множества попарно не пересекающихся
измеримых по Лебегу множеств
, то множество А измеримо по Лебегу и
.
Следствие
Если
замкнутое множество
содержится в ограниченном открытом
множестве
,
то
.
ЛЕММА
5 Пусть
множество А содержится в интервале
.Тогда,
если А измеримо по Лебегу, то и множество
измеримо по Лебегу.
ТЕОРЕМА
6. Пусть
-
ограниченные измеримые по Лебегу
множества. Тогда множества
так же измеримы по Лебегу.
ТЕОРЕМА
7. Если
ограниченное множество А является
объединением счетного множества
измеримых по Лебегу множеств
, то множество А измеримо по Лебегу.
ТЕОРЕМА 8. Пересечение счетного множества измеримых по Лебегу множеств является измеримым по Лебегу множеством.
Ноль-мерныя множества. Мера Лебега множества рациональных чисел и Канторова совершенного множества.
Определение1.Если
внутренняя мера
ограниченного
множества А равна внешней мере
множества
А, то множество А называется измеримым
по Лебегу, а общее значение внутренней
и внешней мер называется мерой Лебега
множества А и обозначается
.
Определение 2. Если множество А измеримо по Лебегу и его мера Лебега равна нулю, то множество А называется нульмерным.
Примеры нульмерных множеств: конечное, ограниченное, счетное, множество Кантора.
Определение 3. Замкнутое множество, не имеющее изолированных точек, называется совершенным множеством.
Примерами
совершенного множества являются
,
,
R, Ø.
ТЕОРЕМА 4. Непустое ограниченное совершенное множество есть или отрезок, или получается из отрезка вычитанием конечного или счетного множества взаимно непересекающихся интервалов, которые не имеют общих концов ни с друг с другом, ни с отрезком.
Интересным примером совершенного множества является множество Кантора. Рассмотрим его.
Разделим
отрезок [0,1]=F точками
и
на три равные части и вычтем из отрезка
F средний интервал
(
,
)
=
.
Обозначим
=
=
.
Каждый из оставшихся отрезков
опять разделим на три равные части и из
каждого вычтем средний интервал, т.е.
из
вычтем множество
Получим множество
.
Этот процесс продолжим неограниченно.
В результате из отрезка F
вычтем открытое множество
, являющееся объединением счетного
множества интервалов, которые попарно
не пересекаются и не имеют общих концов
ни с друг с другом, ни с отрезком F.
Оставшееся множество
называется
множеством Кантора и обозначается
P. По теореме 4. множество
Кантора является совершенным.
ТЕОРЕМА
5. Множество Кантора имеет меру равную
нулю:
.
Определение
6. Пусть F-
ограниченное замкнутое непустое
множество, α=inf
F, b=sup
F;
.
Число
называется мерой замкнутого множества
F и обозначается
.
Доказательство.
Множество Кантора является
ограниченным замкнутым множеством.
Поэтому по определению меры замкнутого
множества имеем
.