8. Мощность множества. Теорема Кантора-Бернштейна

Множества X и Y называется эквивалентными, ели можно указать взаимно однозначное соответствие между множествами X и Y.

Если эквивалентны два конечных множества, то они состоят из одного и того же числа элементов. Если же эквивалентные между собой множества М и N произвольны, то говорят, что М и N имеют одинаковую мощность(μ М =μ N) . Таким образом, мощность — это то общее, что есть у любых двух эквивалентных между собой множеств. Если B~N (N—множество натуральных чисел), то говорят, что множество B счетно, или мощность B равна а(μB=а). Известно, что отрезок [0;1] не эквивалентен N . Если A~[0;1], то говорят, что оно имеет мощность континуума, или, что множество имеет мощность (μA=c).Если A и B не эквивалентны, но B* B эквивалентно A ,то считают что μB< μA.

Теорема Кантора—Бернштейна.

Пусть А и В — два произвольных множества. Если существуют взаимно однозначное отображение f множества А на подмножество В₁ множества В и взаимно однозначное отображение g множества В на подмножество А₁ множество А, то А и В эквивалентны.

6. Мощность континуума и ее свойства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.Если множество А эквивалентное отрезку [0, 1], то говорят, что множество А имеет мощность континуума или мощность c.

ТЕОРЕМА 2. Каждый из промежутков [a, b], (a, b), (a, b], [a, b) имеет мощность с.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что А=[a, b], u=[0, 1]. Формула у=a+(b–a)х устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами А і u (А={у}, u={х}). Поэтому, А~u, значит множество А имеет мощность с. Докажем, что промежуток (a, b) имеет мощность с. Из отрезка [a, b] отбросим 2 пункта a и b. Получим интервал (a, b). По теореме : Когда бесконечное множество S является несчетным , а А - его конечное или счетное подмножество, то S\A~S, имеем, что (a, b)~[a, b]. Так как [a, b]~[0, 1], то (a, b)~[0, 1], это значит, что интервал (a, b) имеет мощность с.

ТЕОРЕМА 3. Множество R всех действительных чисел имеет мощность с

ТЕОРЕМА 4. Множество J всех иррациональных чисел имеет мощность с.

ТЕОРЕМА 5. Множество Т всех трансцендентных чисел имеет мощность с, т.е. это множество не является пустым, т.е. трансцендентные числа существуют.

ТЕОРЕМА 6. Объединение конечного или счетного множество множеств мощностей с имеет мощность с.

ТЕОРЕМА 7. Когда множество А состоит из элементов , которые отличаются n значками х₁, х₂, ... х_n, каждый из которых независимо один от второго принимает множество значений мощности с, то данное множество А={ } имеет мощность с.

ИТОГ. Множество всех пунктов евклидового n-мерного пространства имеет мощность с.

9. Строение открытых множеств на прямой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть G - открытое множество. Если интервал (a, b) помещается в G, но его концы этому множеству не принадлежат, то этот интервал называется составным интервалом множества G. Пример. G=(1, 3)(5, 7) – открытое множество. (1, 3), (5, 7) – составные интервалы этого множества.

ТЕОРЕМА 2. Когда G есть непустое ограниченное открытое множество, то каждый его пункт принадлежит некоторому составному интервалу.

ТЕОРЕМА 3. Если (, ) и (, ) - два составные интервалы одного и того же открытого множества G, то они или совпадают, или не пересекаются.

ИТОГ. Множество разных составных интервалов непустого ограниченного открытого множества G является конечным или счетным.

Из теоремы 2 и итога теоремы 3 получаем теорему про структуру линейного открытого множества.

ТЕОРЕМА 4. Каждое непустое ограниченное открытое множество G является объединением конечной или счетной совокупности интервалов, которые попарно не пересекаются, и концы которых не принадлежать множеству G.

Иначе говоря, каждое непустое ограниченное открытое множество G есть объединение конечной или счетной совокупности всяких разных составных интервалов этого множества.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть A - объединение всех разных составных интервалов множества G. Это множество согласно итогу из теоремы 3 является конечным или счетным. Докажем, что G=A.

Пусть x₀G, отсюда на основании теоремы 2 следует, что x₀ принадлежит какому-либо составному интервалу множества G. Значить, x₀A. Таким образом, GA.

Пусть x₀A. Тогда получаем, что x₀ принадлежит какому-либо интервалу множества G. Значить, x₀G. Таким образом, AG. Поскольку GA и AG, то A=G.

Строение замкнутых множеств на прямой.

ТЕОРЕМА 1. Когда S=[A, B] - наименьший отрезок, который содержит замкнутое множество F, то множество C_SF=S\F является открытым.

Теперь мы можем выяснить структуру непустого ограниченного замкнутого множества F. Поскольку F=S\C_SF, то из теорем : Каждое непустое ограниченное открытое множество G является объединением конечной или счетной совокупности интервалов, которые попарно не пересекаются, и концы которых не принадлежать множеству G и 1 следует правдивость следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 2. Каждое непустое ограниченное замкнутое множество F является или отрезкам, или получена из некоторого отрезка выбрасыванием из этого отрезка конечной или счетной совокупности интервалов, которые попарно не пересекаются, и концы которых принадлежат данному множеству.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Составные интервалы множества C_SF называются дополнительными интервалами множества F.

ЗАМЕЧАНИЕ :любое множество, получившееся из отрезка выбрасыванием некоторой совокупности интервалов, является замкнутым.

В правдивости этого утверждения легко убедиться, если применить следующее очевидное равенство:

[a, b]\G=[a, b]CG, где G – открытое множество, которое содержится в [a, b], CG – дополнение множества G до евклидовой прямой.