1. Счетные множества. Теорема о существовании подмножества в бесконечном множестве

Множество A называется счётным, если оно эквивалентно множеству   всех натуральных чисел. Иначе говоря, для счетного множества A существует биекция  , а зто означает, что элементы множества А можно записать в виде последовательности a₁, a₂,... a_n... в которой нет равных членов, и каждый элемент из A равен одному из членов последовательности.

Пример: Множество   всех целых чисел счетно ,так как eгo можно записать в виде следующей последовательности: 0,1,-1,2,-2,..n,-n,... Счетны также множества  , {2, 2²,2³,...2ⁿ...}, {1³,2³,...n³,...}.

Теорема 1: Множество всех пар натуральных чисел счетно, то есть  .

Доказательство

Доказательство проиллюстрируем следующим рисунком (в отличие от русской матем.символики здесь "/" обозначает не дробь, а стоит вместо запятой, обозначая упорядоченную пару-элементN*N):

В результате расстановки, указанной стрелками, все элементы приобретут номер, и, значит, это множество- счётное.

Теорема 3: Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Доказательство

Пусть множество B бесконечно. Тогда оно содержит хотя бы один элемент a₁. В силу бесконечности B в нём найдется элемент a₂, отличный от a₁. Так как злементы a₂ и a₁ не исчерпывают всего множества B, то в нём найдется элемент a₃, отличный и от a₂ и от a₁. Если уже выделено n элементов a₁, a₂,...a_n, то в силу бесконечности B в нём найдётся еще один элемент, который обозначим a_n+1, отличный от всех ранее выбранных элементов. Таким образом, для каждого натурального числа n можно выделить элемент a_n из B, причём все выделенные элементы попарно различны. Выделенные элементы образуют последовательность a₁, a₂,...a_n.... Множество её членов по определению счётно, и это множество есть часть B.

Теорема 4: Всякое бесконечное подмножество счётного множества счётно.

Доказательство

Пусть множество A счётно, а B- его бесконечное подмножество. По предыдущей теореме множество B содержит счётное подмножество C. Так как множества A и C оба счётны, то они эквивалентны:A~C . Кроме того,  . По теореме 4 главы 1 B~A, то есть множество B эквивалентно счётному множеству и потому само счётно.

Теорему 4 можно перефразировать следующим образом: 4': Всякое подмножество счётного множества конечно или счётно.

3. Счетность множества рациональных чисел.

ТЕОРЕМА 1. Множество Q всех рациональных чисел является счетным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала докажем, что счетным является множество Q+, т.е. множества всех положительных рациональных чисел. Рассмотрим множество всех дробей вида , где p=1, 2, 3, ..., q=1, 2, 3, .... Это множество является объединением счетного множество следующих счетных множеств:

{ },

{ },

{ },

. . . . ...

Поэтому по теореме: Объединение счетного множество счетных множеств, есть счетное, множество всех дробей рассмотренного вида является счетным, т.е. счетным является Q+. Рассмотрим теперь множество Q- (множество всех отрицательных рациональных чисел). Оно также является счетным, ведь эквивалентное множеству Q+. Когда теперь учесть, что Q=Q₊Q_–{0},и использовать след. теоремы: Объединение конечного числа счетных множеств является счетным множествам, Объединение конечного множества и множество счетного есть множество счетное, то получим, что множество Q будет счетным.

ИТОГ. Множество всех рациональных чисел, которые принадлежать любому отрезку, является счетным.

ТЕОРЕМА 2. Когда множество А состоит из элементов , которые отличаются n значками х₁, х₂, ... х_n, каждый из которых независимо один от второго принимает счетное множество значений, то множество А является счетным

ИТОГ 1. Множество всех пунктов (х, у) плоскости, в которых обе координаты являются рациональными числами, будет счетным.

В общем случае множества всех пунктов n-мерной эвклидовой просторы с рациональными координатами будет счетным.

ИТОГ 2. Множество всех многочленов Р_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n–1+...+a_n с рациональными коэффициентами, является счетным.