3.2. Примеры решения задач

Задача 1. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью = 15 м/с. Период колебаний точек шнура равен 1,2 с, амплитуда = 2м. Определить: 1) дину волны ; 2) фазу колебаний, смещение , скорость и ускорение точки, отстоящей на расстоянии = 45 м от источника волн в момент времени = 4 c; 3) разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на ₁ = 20 м и ₂= 30 м.

Решение. 1. Длина волны равна расстоянию, которое волна проходит за один период, и может быть найдена из соотношения

.

Подставив значения величин и , получим .

2. Запишем уравнение волны (2.1):

,

где  смещение колеблющейся точки; - расстояние точки от источника волн; - скорость распространения волн.

Фаза колебаний точки с координатой в момент времени определяется выражением, стоящим в уравнении волны под знаком косинуса:

 или ,

где учтено, что .

Произведя вычисления по формуле, получим

, или .

Смещение точки определим, подставив в уравнение (2.1) значения амплитуды и фазы : .

Скорость точки находим, взяв первую производную от смещения по времени:

Подставив значения величин   и и произведя вычисления, получим .

Ускорение есть первая производная от скорости по времени, поэтому

Произведя вычисления по этой формуле, найдем .

3. Разность фаз колебаний двух точек волны связана с расстоянием между этими точками соотношением

.

Подставив значения величин  ₁ и ₂ и вычислив, получим

, или .

Задача 2. Источник звука частотой 18 кГц приближается к неподвижно установленному резонатору, настроенному на акустическую волну длиной 1,7 см. С какой скоростью должен двигаться источник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызывали колебания резонатора? Температура воздуха равна 290 К.

Решение. Согласно принципу Доплера, частота звука, воспринимаемая прибором (резонатором), зависит от скорости источника звука и скорости прибора. Эта зависимость выражается формулой (2.6).

Учитывая, что резонатор остается неподвижным , из формулы (2.6) получим , откуда

. (3.17)

В этом выражении неизвестны значения скорости звука и частоты .

Скорость звука в газах зависит от природы газа и температуры и определяется по формуле

(3.18)

Чтобы волны, приходящие к резонатору, вызывали его колебания, частота воспринимаемых резонатором волн должна совпадать с собственной частотой _рез резонатора, то есть

, (3.19)

где – длина волны собственных колебаний резонатора.

Подставив выражения и из равенств (2.18) и (2.19) в формулу (2.17), получим

, или

.

Взяв значения = 1,4; = 0,029 кг/моль, а также значения ,  и подставив их в последнюю формулу, после вычислений получим м/c.