7.2. Примеры решения задач

Задача 1. На осциллятор типа качелей действует сила демпфирования, пропорциональная скорости движения . Предполагая, что колебания малые , вычислить потерю энергии за полупериод колебаний и найти коэффициент пропорциональности .

Решение. Потерю энергии за полупериод колебаний находим из выражения:

Определим из выражения : , , . Тогда

.

Учитывая, что , получим

Определим коэффициент пропорциональности из равенства потери энергии за счет силы демпфирования ее приращению за полупериод колебаний качелей : , выражается формулой (7.13).

Тогда

.

Откуда

.

Ответ : , .

Задача 2. Определить обе верхние области частот , в которых могут происходить нарастающие колебания физического маятника, имеющего собственную частоту . Точка подвеса маятника колеблется в вертикальном направлении по закону , причем амплитуда составляет 14 % от величины приведенной длины маятника .

Решение. Используем приближенные формулы для граничных линий областей устойчивости:

, , , .

Для физического маятника, точка подвеса которого колеблется с частотой , при переводе уравнения его колебания в нормальную форму уравнения Матье используются следующие обозначения:

, , _.

Так как по условию задачи , то получаем следующие уравнения для решения задачи:

; ;

; .

Откуда: ; ; ; .

Таким образом, верхние области частот, в которых могут происходить нарастающие колебания следующие: ; .

Ответ : ; .

7.3. Задачи

701. Определить линейные скорости движения качелей в конце фаз спуска и подъема на 0,18 с от начала колебаний для м и м. Построить график зависимости максимального отклонения качелей в конце фазы подъема от угла начального отклонения в момент фазы спуска при заданных и для области .

(Ответ : м/c; м/с).

702. Сила сопротивления параметрическим колебаниям математического маятника пропорциональна скорости его движения . Определить значение для стационарных колебаний маятника при , если его масса равна 10 кг. Длина маятника, соответствующая движению от точки максимального отклонения в фазе спуска, равна 8 м, а в фазе подъема – 7 м.

(Ответ: кг/с).

703. Пусть на осциллятор типа качелей действует сила сопротивления, пропорциональная квадрату скорости . Предполагая, что , вычислить потерю энергии за полупериод и найти амплитуду стационарных колебаний.

(Ответ: , ).

704. Сила демпфирования, действующая на математический маятник, пропорциональна третьей степени скорости: . Определить потерю энергии за счет демпфирования маятника в течение полупериода параметрических колебаний и найти амплитуду стационарных колебаний.

(Ответ: ;

).

705. Пусть ось подвеса физического маятника движется в вертикальном направлении по закону . Найти уравнение движения маятника для малых значений . Устойчивы ли эти колебания?

(Ответ: ; колебания неустойчивы, так как ).

706. Уравнение движения горизонтальной оси подвеса физического маятника в вертикальном направлении определяется выражением , где , , . Определить значения , при которых колебания будут устойчивыми при малых значениях углов .

(Ответ: колебания устойчивы при ).

707. Длина математического маятника меняется по закону . Представить графически закон изменения . Найти уравнение колебаний маятника для малых углов .

(Ответ: ).

708. Пусть на осциллятор типа качелей действует сила сухого трения, определяемая выражением (6.15). Предполагая, что , вычислить потерю энергии за полупериод параметрических колебаний и найти амплитуду стационарных колебаний.

(Ответ: ; ).

709. Определить силу сухого трения, препятствующую стационарным колебаниям математического маятника для малых углов . Масса математического маятника равна 5 кг. Длина нити в фазе спуска равна 5 м, а в фазе подъема – 4.5 м, рад.

(Ответ: Н).

710. Параметрические колебания качелей происходят по закону . Определить потерю энергии за период колебаний при наличии сухого трения для малых колебаний. Найти амплитуду стационарных колебаний.

(Ответ: ).

711. Вычислить потерю энергии за период колебаний качелей, если они происходят по закону . Сила сухого трения, препятствующая стационарным колебаниям, равна 5 Н, 0,2 рад, 0,5 м.

(Ответ: 0,25 Дж).

712. Определить амплитуду стационарных колебаний при наличии сухого трения 8.5 Н для качелей, имеющих массу 200 кг. Длина 5 м, 0.2 м.

(Ответ: 0.13 рад).

713. Осциллятор типа качелей совершает параметрические колебания по закону . Определить силу сухого трения для малых колебаний 0.2 рад, если потеря энергии за период колебаний составляет 0.5 Дж при 20 см.

(Ответ: 25 Н).

714. Точка подвеса маятника, имеющего собственную частоту , колеблется в вертикальном направлении по закону , причем амплитуда составляет 10% от величины приведенной длины маятника . При помощи приближенных формул определить обе верхние области частот, в которых могут происходить нарастающие колебания.

(Ответ: 0.99792 1.00042; 1.83 2.24).

715. Пятая граничная линия области устойчивости колебаний физического маятника соответствует значению 1.00417. Определить отношение амплитуды колебаний к приведенной длине маятника если точка подвеса маятника с собственной частотой совершает колебания в вертикальном направлении по закону .

(Ответ: 0,1).

716. Какой должна быть минимальная частота вертикальных колебаний точки подвеса физического маятника, которая колеблется по закону для того, чтобы верхнее положение равновесия было устойчивым. Амплитуда колебаний составляет 15% от величины приведенной длины маятника, собственная частота колебаний .

(Ответ: 9.42 ).

717. Привести уравнение колебаний спарника электровоза при к нормальной форме уравнения Матье. Полагая, что частота вращения колеса равна , где – скорость движения, а – радиус колеса, и используя приближенные формулы для граничных линий устойчивости колебаний, вывести выражение для границ и верхней критической области скорости движения, в которой могут происходить колебания.

(Ответ: ).

718. Решить предыдущую задачу при .

(Ответ: ; )

719. Привести уравнение поперечных колебаний струны при к нормальной форме уравнения Матье. При помощи приближенных формул определить первую верхнюю область частот, в которой могут происходить нарастающие колебания.

(Ответ: ; ; ).

720. Привести уравнение поперечных колебаний струны при к нормальной форме уравнения Матье. Определить первую верхнюю область частот, в которой происходят нарастающие колебания, используя приближенные формулы для граничных линий устойчивости.

(Ответ: ; ; ).

721. Определить первую и вторую верхние области частот, в которых могут осуществляться нарастающие колебания физического маятника, точка подвеса которого колеблется по закону для малых значений . Амплитуда колебаний составляет 14 % от приведенной длины маятника.

(Ответ: 0.88 1.18; 0.4980 0.5004).

722. Привести уравнение колебаний физического маятника, точка подвеса которого колеблется по закону для малых углов , к нормальной форме уравнения Матье. Считая, что амплитуда колебаний составляет 8 % от приведенной длины маятника, определить обе верхние области частот нарастающих колебаний.

(Ответ: ; ; 3.78 4.36; 1.9973 2.0005)

723. Пусть электроемкость колебательного контура меняется по закону . Привести уравнение колебаний контура к нормальному виду уравнения Матье. Определить верхнюю границу области частот нарастающих колебаний, используя приближенные формулы для граничных линий.

(Ответ: ; ; ).

724. Решить предыдущую задачу при изменении емкости колебательного контура по закону .

(Ответ: ; ; ).

725. Вторая граничная линия области устойчивости колебаний физического маятника соответствует значению 2.08. Точка подвеса маятника колеблется в вертикальном направлении по закону , собственная частота колебаний маятника равна . Определить отношение амплитуды маятника к его приведенной длине.

(Ответ: - 0.54, такой области устойчивости не существует).

726. Третья граничная линия области устойчивости колебаний физического маятника соответствует значению 0.0203. Определить значение , если точка подвеса маятника с собственной частотой колеблется в вертикальном направлении по закону .

(Ответ: 3105.6).

727. Осциллятор типа качелей совершает малые колебания по закону . Определить потерю энергии за полупериод параметрических колебаний, если сила демпфирования определяется выражением , где – скорость движения. Найти коэффициент пропорциональности .

(Ответ: ; )

728. Показать, что при подстановке в уравнение Матье разложения с и пренебрежении членами высших порядков получаются приближенные решения для граничных областей с и . Указание: использовать значение 1 для приведенного ряда.

729. Определить отношение для второй граничной линии области устойчивости колебаний физического маятника, для которого амплитуда колебаний составляет менее 10 % его приведенной длины. Частота колебаний равна .

(Ответ: < 2.24).

730. Точка подвеса физического маятника колеблется в вертикальном направлении по закону . Определить отношение для третьей граничной линии области устойчивости маятника с собственной частотой , если 0.1.

(Ответ: < 0.609).