7. Параметрические колебания

Параметрические колебания – колебания, возбуждающиеся вследст-вие изменения во времени одного из параметров колебательной системы. Отличительной чертой колебаний с периодическим изменением параметра является то, что возбуждения не происходит, если осциллятор находится в положении равновесия. Однако при некоторых условиях, в частности при определенных значениях отношения собственной частоты колебаний к частоте возбуждения, положение равновесия может стать неустойчивым, и поэтому сколь угодно малое возмущение может вызвать параметрические колебания.

7.1. Основные формулы и соотношения

 Уравнение движения физического маятника с периодически перемещающейся осью подвеса в вертикальном направлении (рис.7.1):

, (7.1)

где – момент инерции маятника; – 9,8 м/с².

 Уравнение движения спарника электровоза (рис.7.2) для малых углов ( ) смещения колеса относительно мотора

, (7.2)

г де – момент инерции спарника – жесткость сцепления (периодическая функция ).

 Уравнение параметрических колебаний электрического колебательного контура с периодическими параметрами (рис.7.3):

, (7.3)

где – заряд конденсатора, – емкость конденсатора, периодически изменяющаяся во времени.

Уравнение поперечных колебаний струны с переменным натяжением (рис.7.4):

, (7.4)

где - величина смещения струны в пучности, - его вторая производная по времени, - циклическая частота свободных колебаний, - средняя сила натяжения струны.

 Уравнение параметрических колебаний математического маятника переменной длины (периодическая функция времени) (рис.7.5) :

.(7.5)

Колебания качелей (рис.7.6) вместе с качающимся на них человеком с вполне достаточной точностью описываются уравнением колебаний математического маятника:

. (7.6)

Это представление будет особенно наглядным, если представить перемещение центра масс качелей в направлении веревки как процесс, происходящий за бесконечно короткое время (мгновенно). В этом случае длина маятника (качелей) принимает два значения : и , где большее значение соответствует движению от точки максимального отклонения к наинизшей точке (т.е. относится к фазе спуска), а меньшее значение соответствует фазе подъема. Траектория центра тяжести представляет собой петлеобразную кривую.

. (7.7)

 При отсутствии сил демпфирования выполняется соотношение :

,(7.8)

где – угол максимального отклонения в начале фазы спуска (рис.7.7), – угол максимального отклонения в конце фазы подъема.

Скорость движения качелей определяется выражением :

. (7.9)

Полное приращение энергии за полупериод колебаний математического маятника (качелей) массой определяется выражением :

, (7.10)

где – начальная (потенциальная) энергия осциллятора, , зависящая только от геометрии маятника – качелей, . Величина энергии в конце первого полупериода равна

. (7.11)

После полупериода потенциальная энергия осциллятора

, (7.12)

т.е. энергия системы возрастает в геометрической прогрессии.

 Для малых амплитуд колебаний и полное приращение энергии равно :

. (7.13)

Приращение энергии (7.13) должно быть равно потерям, обусловленным сопротивлением, необходимым для получения устойчивых колебаний.

 Сила демпфирования, как правило, прямо пропорциональная скорости в степени k:

. (7.14)

Сила сухого трения определяется выражением :

при (7.15)

Потеря энергии за счет сил демпфирования или сухого трения определяется из выражения

(7.16)

где – период колебаний осциллятора.

Для того, чтобы происходили параметрически возбуждаемые колебания, необходимо такое начальное возмущение, при котором амплитуда превышает критическое значение , определяемое из равенства .

 Параметрические колебания линейных систем определяются уравнением Хилла :

(7.17)

Уравнение Хилла имеет решение :

, (7.18)

где , – периодические функции времени; , ; – характеристические показатели уравнения Хилла, независящие от начальных условий и определяющие характер устойчивости колебаний. Если действительная часть одного из показателей положительна, то при , решение (6.18) неограниченно возрастает, т. е. является неустойчивым. Если действительные части обоих отрицательны, то при решение асимптотически стремится к нулю и является асимптотически устойчивым. В граничном случае , когда действительная часть одного из (или обоих) равна 0, решение остается ограниченным, однако без асимптотического стремления к 0, в этом случае решение может быть периодическим.

 Если

, (7.19)

то при введении обозначений , ,

(7.20)

и подстановке в (7.17) получаем уравнение Матье в нормальной форме:

, (7.21)

где штрихи означают дифференцирование по безразмерному времени .

Уравнение (7.21) эквивалентно двум следующим:

при ,

при . (7.22)

 Приближенные формулы граничных линий областей устойчивости:

, , , ,

, . (7.23)

 Обозначения, вводимые для перевода уравнения колебаний физического маятника к нормальной форме уравнения Матье, если точка подвеса маятника движется по гармоническому закону (исследуются малые колебания ):

, (7.24)

, , , (7.25)

где – приведенная длина маятника; – круговая частота собственных колебаний при неподвижной точке подвеса .

 Если в уравнении Матье , то для его решения целесообразно применить метод возмущений, при котором решение представляется рядом по степеням параметра 

. (7.26)

Функции определяются приравниванием к нулю коэффициентов при различных степенях при подстановке формулы (7.26) в дифференциальное уравнение и расположении членов по степеням .

 Если осциллирующее слагаемое не мало, ряд для возмущения сходится медленно или вовсе не сходится, то границы области устойчивости можно определить путем нахождения периодических решений при помощи ряда Фурье:

. (7.27)

Частоту в этом методе можно выразить через частоту изменения параметра . После подстановки (7.27) в исходное дифференциальное уравнение члены, содержащие одинаковые гармоники, объединяются. Исходное уравнение удовлетворяется, если коэффициенты при всех гармониках обращаются в нуль. Это условие приводит к системе с бесконечным числом уравнений для определения амплитудных множителей и , которая решается методом итераций.