5.2. Примеры решения задач

Задача 1. Длина электромагнитной волны, распространяющейся в диэлектрической среде с проницаемостями 4,5 и 2, равна длине волны, распространяющейся в вакууме. Во сколько раз отличаются частоты этих волн?

Решение. Обозначим частоту и длину волны в вакууме и соответственно, а частоту и длину волны в среде – и . Длина волны и ее частота связаны соотношением (4.3), поэтому для каждой из рассматриваемых сред можно записать формулы:

где – скорость электромагнитной волны в вакууме, – фазовая скорость волны в диэлектрической среде. Фазовая скорость волны определяется соотношением (4.2):

,

следовательно

.

По условию задачи , поэтому

.

Из последней формулы получим искомое отношение:

Произведем вычисления:

Ответ : частота волны в вакууме в 3 раза выше.

Задача 2. Найти амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей плоской, монохроматической, линейно поляризованной волны, интенсивность которой равна 1 Вт/м². Волна распространяется в вакууме.

Решение. Интенсивность электромагнитной волны пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электрического поля (cм. формулу 4.12):

.

Отсюда находим :

.

Так как волна распространяется в вакууме, то 1. Подставив в выражение для числовые данные из условия задачи, получим:

(В/м).

Амплитуда напряженности магнитного поля связана с соотношением (4.9):

.

Вычислим ее:

(А/м).

Ответ: =27,45 В/м; = 0,073 А/м.

Задача 3. Определить коэффициент затухания , фазовую постоянную и длину электромагнитной волны с частотой 1 Мгц, распространяющейся в среде с проницаемостями 60, 1 и удельной электрической проводимостью 3 См/м.

Решение. Коэффициент затухания, фазовая постоянная и длина волны в среде с конечной электрической проводимостью зависят от отношения плотностей токов проводимости и смещения в среде при данной частоте. Это отношение определяется по формуле (4.15):

.

Вычислим величину :

.

Поскольку выполняется неравенство >> 1, то при заданной частоте волны среду следует считать хорошо проводящей и для расчета искомых величин использовать соотношения (4.17):

.

Длина волны определяется по формуле (4.18):

.

Подставим в расчетные формулы числовые данные и произведем вычисления:

(м^-1 ),

(м) .

Ответ: ; .

5.3. Задачи

501. Плоская электромагнитная волна распространяется в вакууме. Расстояние, на котором фаза волны изменяется на 1200^о, равно 10 м. Определить частоту и длину волны.

(Ответ: 100 мГц; 3 м).

402. Определить длину и фазовую скорость плоской электромагнитной волны, распространяющейся в диэлектрической среде с относительными проницаемостями 5, 3. Частота волны 50 МГц.

(Ответ: 1,55 м; 7,7510⁷ м/с).

503. Фазовая скорость плоской электромагнитной волны равна 7,510⁷ м/с. Среда, в которой распространяется волна, является диэлектриком с относительной диэлектрической проницаемостью 2. Определить относительную магнитную проницаемость среды.

(Ответ: 8).

504. В вакууме в положительном направлении оси распространяется плоская электромагнитная волна с частотой 10 МГц. В момент времени 0,1 мкс в плоскости 10 м вектор напряженности электрического поля волны ориентирован в отрицательном направлении оси , а его модуль равен 0,5 В/м. Определить направление и модуль вектора напряженности магнитного поля волны в тот же момент времени, но в плоскости 1 м.

(Ответ: вектор ориентирован в положительном направлении оси ; = 2,59 10^-3 А/м).

505. Используя данные предыдущей задачи, определить вектор Пойнтинга волны в момент времени 0,1 мкс в плоскости 1 м.

(Ответ: вектор ориентирован в положительном направлении оси ; 2,5410^-3 Вт/м²⁾.

506. В диэлектрике с параметрами 1,5, 1 распространяется плоская электромагнитная волна с амплитудой напряженности электрического поля 50 В/м. Определить интенсивность волны.

(Ответ: 4,06 Вт/м ²).

507. Интенсивность плоской электромагнитной волны в диэлектричес- кой среде с параметрами 2, 3 равна 1 Вт/м². Найти амплитуду напряженности магнитного поля волны.

(Ответ: 6,5810^-2 А/м).

508. Импульсная мощность излучения оптического квантового генера- тора (лазера) равна 500 кВт. При каком диаметре пучка излучения может произойти электрический пробой воздуха, если напряженность электрического поля, обеспечивающего пробой, равна 30 кВ/см? Считать воздух диэлектриком с параметрами 1. Пренебречь отличием излучения лазера от плоской волны в пределах пучка.

(Ответ: 7,3 мм).

509. В диэлектрической среде с параметрами 2,8, 1 распространяется плоская электромагнитная волна напряженность магнитного поля которой имеет амплитуду 10 мА/м. Определить интенсивность электромагнитной волны.

(Ответ: 11,2610^-3 Вт/м²).

510. Определить толщину алюминиевого экрана, обеспечивающего ослабление амплитуды электромагнитного поля в 1000 раз на частотах 100 Гц и 100 МГц. Удельное электрическое сопротивление алюминия 0,028 Оммм²/м, относительная магнитная проницаемость 1.

(Ответ: 58 мм; 58 мкм).

511. Решить предыдущую задачу, полагая, что экран изготовлен из меди, удельное электрическое сопротивление которой 0,0175 Оммм²/м, а относительная магнитная проницаемость 1.

( Ответ: 46 мм; 46 мкм).

512. Морская вода имеет параметры 78, 1, 5 См/м. Определить коэффициент затухания и длину плоской электромагнитной волны с частотой 10 МГц, распространяющейся в такой среде.

(Ответ: 14,05 м^-1; 0,447 м).

513. Используя параметры среды из предыдущей задачи, выяснить, можно ли морскую воду считать хорошим диэлектриком при распрост- ранении в ней плоской электромагнитной волны с частотой 1 МГц?

(Ответ: на данной частоте морская вода не является хорошим диэлектриком).

514. Как изменится амплитуда плоской электромагнитной волны с частотой 3 ГГц при распространении в сухой почве на пути 1 м? Параметры среды имеют значения 6, 1, 510^-3 См/м.

(Ответ: амплитуда волны уменьшится в 1,47 раза).

515. Плоская электромагнитная волна с частотой 10⁸ Гц распрост- раняется в вакууме. Вектор Пойнтинга волны лежит в плоскости . Определить угол между вектором Пойнтинга и осью , если изменение фазы волны на расстоянии 4 м вдоль этой оси составляет 240^о.

(Ответ: искомый угол равен 60^о).

516. Плоская электромагнитная волна с частотой 100 МГц распрост- раняется в немагнитной, непроводящей среде. На пути, равном 1 м, волна приобретает дополнительный, по сравнению с вакуумом, фазовый сдвиг 0,7 рад. Определить относительную диэлектрическую проницаемость среды.

(Ответ: 1,78).

517. В среде с хорошей проводимостью амплитуда плоской электромагнитной волны уменьшается в 3 раза на пути длиной . Определить изменение фазы волны на пути длиной .

( Ответ: фаза изменится на 125,89^о).

518. Во сколько раз отличаются длины электромагнитных волн одинаковой частоты в меди и олове? Медь и олово считать немагнитными средами с удельным электрическим сопротивлением соответственно 0,017510^-6 Омм и 0,11510^-6 Омм.

(Ответ: длина волны в меди в 2,56 раза меньше).

519. Решить предыдущую задачу при условии, что частота волны в меди в 6,571 раза меньше частоты волны в олове.

(Ответ: длины волн в обоих металлах одинаковы).

520. Как изменится глубина проникновения электромагнитной волны в медь при нагревании металла от 0^о С до 100^о С? Температурный коэффициент сопротивления меди равен 0,0039 .

(Ответ: увеличится в 1,18 раза).

521. Напряженность электрического поля плоской электромагнитной волны в плоскости 0 изменяется с течением времени по закону 50cos(10⁶t) В/м. Среда имеет параметры 80, 1, 4 См/м. Определить напряженность электрического поля волны в плоскости 1 м.

(Ответ: 10,2cos(10⁶t - 1,585) В/м).

522. Плотность мощности плоской электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме, в момент времени 1 мкс в плоскости 1 м равна 1 Вт/м². Циклическая частота волны 10⁸ с^-1. Волна распространяется в положительном направлении оси . Определить амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны.

(Ответ: 29,9 В/м; 79 мА/м).

523. Используя данные предыдущей задачи, определить мгновенное значение вектора Пойнтинга волны.

(Ответ: вектор Пойнтинга ориентирован в положительном направлении оси ; 2,37cos(10⁸t - z/3) Вт/м²).

54. Под углом 60^о к оси распространяется плоская электромагнитная волна. Вектор напряженности электрического поля волны совершает колебания в плоскости . Определить частоту волны, если изменение ее фазы на пути 10 м вдоль оси равно 600^о.

( Ответ: 100 Мгц).

525. На каком пути фаза плоской электромагнитной волны с циклической частотой 10⁶ с^-1 изменяется на 180^о при распространении в среде с параметрами 80, 1, 4 См/м.

(Ответ: указанное изменение фазы происходит на пути 1,98 м).

526. Некоторая среда имеет параметры: 4, 2, 10^-4 См/м. На каком пути в этой среде амплитуда электромагнитной волны уменьшается на 10%, если длина волны в вакууме равна 3 см.

( Ответ: на пути 7,9 м).

527. Интенсивность плоской электромагнитной волны в вакууме равна 0,5 Вт/м². Определить амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны.

(Ответ: 19,42 В/м; 51,5 мА/м).

528. Морская вода имеет параметры 78, 1, 5 См/м. Во сколько раз отличается длина электромагнитной волны в такой среде от длины волны в идеальном диэлектрике с теми же значениями и . Частота волны 1 МГц.

(Ответ: меньше в 24 раза).

529. Диаметр пучка излучения оптического квантового генератора (лазера) равен 2 мм. Мощность излучения генератора 10 Вт. Определить амплитуду напряженности электрического поля излучения, пренебрегая отличием излучения в пределах пучка от плоской электромагнитной волны.

(Ответ: 4,910⁴ В/м).

530. Во сколько раз уменьшится амплитуда электромагнитной волны с частотой 30 МГц при распространении в металле с параметрами 1, 10⁷ См/м на пути 0,1 мм. Определить фазовую скорость и длину волны.

(Ответ: в 31,2 раза; 5,47710³ м/с; 1,82610^-4 м).