5. Другие виды средних.

При расчете статистических показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако в каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных существует только одно истинное среднее значение показателя.

Рассмотрим вариант, когда известен числитель ИСС, но не известен его знаменатель.

Валовой сбор и урожайность подсолнечника.

Область	Валовой сбор, тыс. тонн,	Урожайность, ц/га, х
Белгородская	97,0	16,1
Воронежская	204,0	01 0
Курская	0,5	4,8
Липецкая	16,0	10,9
Тамбовская	69,0	7,0

Средняя урожайность может быть определена следующим образом:

Общий валовой сбор, тыс. ц.

ИСС = -------------------------------------------------------

Общая посевная площадь, тыс. га

Общий валовой сбор получим суммированием. Посевную площадь определим делением валового сбора на урожайность. Расчет производится по формуле средней гармонической взвешенной:

=

Общее правило таково, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, применяется формула средней гармонической взвешенной (есть цена реализации и сумма реализации, но нет количества).

Пример. Две автомашины прошли один и тот же путь. Скорость

V = 60 км/ч, V = 80 км/ч. Найти среднюю скорость.

Общее правило: в том случае, если объемы явлений, т.е. произведения по каждому признаку равны, применяется средняя гармоническая (простая).

Пример. Одна и та же товарная масса имела на разных предприятиях разное время обращения: 20, 5, 2 дня. Определить среднее время обращения.

Т.к. время обращения это товарные массы, деленные на однодневный оборот товарные массы одинаковы.

Средняя геометрическая является еще одной формулой, по которой рассчитывается средний показатель.

Невзвешенная

Взвешенная

Наиболее широко применяется в анализе динамики, для определения среднего темпа роста.

Средняя квадратическая. В основе вычислений ряда сводных показателей лежит средняя квадратическая:

Невзвешенная

Взвешенная

Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.

11. Сущность и значение абсолютных средних показателей

Средняя величина - обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Метод средних величин заключается в замене индивидуальных значений варьирующего признака единиц наблюдения, т.е. в замене x₁, x₂, x₃, ... x_n некоторой уравненной величиной .

Средние величины применяются для оценки достигнутого уровня изучаемого показателя, при анализе и планировании производственно-хозяйственной деятельности предприятий (объединений), фирм, банков и других хозяйственных единиц; средние используются при выявлении взаимосвязей явлений, при прогнозировании, а также расчете нормативов. Средняя величина всегда именованная, имеет ту же размерность (единицу измерения), что и признак у отдельных единиц совокупности.

Если имеется несколько различных индивидуальных величин одного и того же вида и надо исчислить среднюю, то необходимо найти сумму всех индивидуальных величин и поделить полученную сумму на их число.

Обозначим индивидуальные значения признака через x1, x2, x3, ...xn, число индивидуальных величин - n, среднюю величину - .

Средняя величина, вычисленная по формуле:

называется средней арифметической простой.

Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда каждое индивидуальное значение признака встречается один (или одинаковое число) раз. Другими словами, средняя арифметическая простая рассчитывается по группировочным единицам совокупности.

Но чаще бывает так, что отдельные значения исследуемой совокупности встречаются не один, а много, причем не одинаковое число раз, т.е. представляют собой ряд распределения.

В эти случаях рассчитывают среднюю арифметическую взвешенную.

Средняя арифметическая взвешенная равна сумме произведений вариант (x) на их частоты или веса (f), поделенной на сумму частот.

Обозначим индивидуальные значения признака (варианты) x₁, x₂, x₃, ...x_n, а числа, показывающие, сколько раз повторяется варианта (частоты) - f₁, f₂, f₃, ... f_n, то средняя арифметическая взвешенная будет равна:

При характеристике колеблемости признака используют систему абсолютных и относительных показателей.

Абсолютные показатели вариации:

• Размах вариации R = x_max - x_min;

• Среднее линейное отклонение

• Дисперсия

• Среднеквадратическое отклонение

Абсолютные показатели, кроме дисперсии, измеряются в тех же единицах, что и сам признак.

Размах колебаний, или размах вариации, представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности: R = x_max - x_min

Среднее линейное отклонение вычисляется по следующим формулам:

для несгруппированных данных

для сгруппированных данных (вариационного ряда)

Дисперсия - средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины.

Дисперсия рассчитывается по следующим формулам:

для несгруппированных данных

для сгруппированных данных (вариационного ряда)

Среднее квадратическое отклонение (представляет собой корень квадратный из дисперсии):

для несгруппированных данных

для вариационного ряда

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение недостаточно полно характеризуют колеблемость признака, т.к. показывают абсолютный размер отклонений, что затрудняет сравнение изменчивости различных признаков.

Для характеристики колеблемости явлений среднее квадратическое отклонение сопоставляется с его средней величиной и выражают в процентах. Такой показатель называется коэффициентом вариации. Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:

12. Относительные статистические показатели

    Относительный показатель в статистике — это обобщающий показатель, который дает числовую меру соотношения двух сопоставляемых абсолютных величин.

    Величина, с которой производится сравнение (знаменатель дроби), называется базой сравнения или основанием. В зависимости от базы сравнения относительный показатель может быть представлен в различных долях единицы, процентах, промилле, продецимилле и т.д. По способу получения относительные величины — всегда производные, результат отношения может быть выражен либо в форме коэффициента и процента, либо в форме промилле и продецимилле. Существуют также именованные относительные величины (например, показатель фондоотдачи).

Общие принципы построения относительных показателей.

1) Сравниваемые в относительном показателе абсолютные (или, в свою очередь, относительные) показатели должны быть объективно связаны в реальной жизни.

2) При построении относительного статистического показателя сравниваемые исходные показатели могут различаться только одним атрибутом: или видом признака (при одинаковом объекте, периоде времени, плановом или фактическом характере показателей), или временем (при том же признаке, объекте и т.п.), или только фактическим, плановым, нормативным характером показателей (при том же объекте, признаке, периоде времени) и т.д. Нельзя сопоставлять показатели, различные по двум или более атрибутам (например, добычу угля в США в 1980 г. с выплавкой стали в России в 1992 г.).

3) Необходимо знать возможные границы существования относительного показателя. Например, если исходные показатели в текущем и базисном периодах имеют разные знаки, то теряет смысл и не может применяться относительная величина динамики

По своему содержанию относительные величины подразделяются на следующие виды:

1). Относительный показатель динамики (ОПД) характеризует изменение уровня развития явления во времени. Представляет собой отношение уровня исследуемого процесса или явления за данный период времени (по состоянию на данный момент времени) к уровню этого же процесса или явления в прошлом.

Обозначим уровень показателя через y:

у₀ — уровень показателя в базисном периоде,

у₁ — уровень показателя в отчетном периоде

ОПД= у₁/ у₀

Относительная величина динамики может быть представлена в трех формах: коэффициента (индекса), темпов роста либо прироста.

Показатели динамики могут определяться с использованием постоянной либо переменной базы сравнения. При расчете показателей на постоянной базе каждый уровень сравнивается с одним и тем же базисным уровнем, т.е. вычисляются делением сравниваемого уровня (у_i) на уровень, принятый за постоянную базу сравнения, :

Исчисляемые при этом показатели называются базисными.

Для расчета показателей на переменной базе каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим, т.е. вычисляются делением сравниваемого уровня уi на предыдущий уровень уi-1:

Вычисленные таким образом показатели называются цепными.

Между базисными и цепными относительными показателями динамики имеется взаимосвязь: произведение последовательных цепных относительных показателей динамики равно базисной величине, исчисленной за тот же период, а частное от деления последующего базисного темпа роста на предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста.