3. Сущность и значение средних показателей.

При обработке статистических данных возникает необходимость определения средних величин.

Средняя величина – обобщающая характеристика признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщенную характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков.

Широкое применение средних объясняется тем, что они имеют ряд положительных свойств, делающих их незаменимыми в анализе.

Пример. При анализе уровня жизни населения сравнение индивидуальных доходов каждой семьи рабочего, студента и т. д. невозможно. Суммарные доходы отдельных социальных групп также не интересны (численность различна). Следовательно, мы можем использовать лишь средние показатели, т. е. среднюю величину доходов в расчете на одного человека и одну семью по каждой социальной группе.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам совокупности.

Значения признака отдельных единиц совокупности могут колебаться под влиянием различных факторов (отдельный студент). Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака. Возможно, что никто из изучаемой совокупности не имеет с точностью до рубля такого дохода как полученная средняя. Однако эта средняя отражает тот типичный уровень доходов, который характеризует эту социальную группу.

Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности.

Если совокупность неоднородна, то в таких случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок.

Теория средних разработана достаточно подробно в отечественных и зарубежных исследованиях. Среди ученых необходимо отметить А.Кетле, И.Зюсьмильха, А.Боярского, Т.Рябушкина.

Сущность средней можно раскрыть через понятие ее определяющего свойства, сформулированное А.Я.Боярским и О. :средняя, являясь обобщающей характеристикой всей совокупности, должна ориентироваться на определенную величину, связанную со всеми единицами этой совокупности. Эту величину представляют в виде функции:

f(x ,x ,…,x )

Если все величины x ,x ,… заменить их средней величиной , то значение функции должно остаться прежним.

f(x ,x ,…,x ) = f( , ,…, )

Исходя из данного равенства определяется средняя. Определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение (ИСС).

Суммарное значение или объем осредняемого признака

ИСС = ---------------------------------------------------------------------------------------

Число единиц или объем совокупности

Пример.

Фонд заработной платы, тыс. руб.

ИСС = -------------------------------------------------------

Число работников, чел.

Для каждого показателя, используемого в анализе, можно составить только одно исходное соотношение для расчета средней.

От того, в каком виде представлены исходные данные для расчета средней, зависит, каким образом будет реализовано ее исходное соотношение. В каждом конкретном случае для реализации исходного соотношения средней (ИСС) применяется одна из следующих форм средней величины:

1. средняя арифметическая

2. средняя гармоническая

3. средняя геометрическая

4. средняя квадратическая, кубическая и т.д.

Все эти виды средних могут быть представлены формулой средней степенной

=

- средняя величина

- i-ый вариант осредняемого признака

- вес i-го варианта

С изменением показателя степени k выражение функции меняется.

Значение k	Наименование средней	Простая	Взвешенная
-1	средняя гармоническая
0	средняя геометрическая
1	средняя арифметическая
2	средняя квадратическая

Эти формулы простых средних применяются в случае, если индивидуальные значения усредняемого признака не повторяются.

Если отдельные значения встречаются несколько раз в совокупности, тогда вводят частоту (вес).

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней, средние, исчисляемые для каждой группы – групповыми средними.

Существуют две категории средних величин: степенные средние (средние арифметические, средние гармонические, средние геометрические и др.), и структурные средние (мода и медиана).

Степенные средние разных видов, вычисляемые по одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения. Чем больше показатель степени k, тем больше величина соответствующей средней.

< < <

Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени называется мажорантностью средних.

К средним величинам относят также моду и медиану. Моду и медиану часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.

Пример. 12 коммерческих пунктов обмена валюты, 1995г., Москва.

Номер обменного пункта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Цена за 1 долл., руб.	2900	2960	2940	2935	2950	2900	2960	2970	2960	2960	2970	2900

Так как нет данных об объеме продаж в каждом обменном пункте, расчет средней арифметической цены за $ нецелесообразен. Но можно определить значение признака, которое делит ранжированный ряд на две части. Это значение называется медиана (Ме). Медиана лежит в середине ранжированного ряда и делит его пополам.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. В приведенном примере модальной ценой за $ является 2960, т.к. повторяется чаще.

На практике моду находят по сгруппированным данным. Определить величину моды в первичном ряду возможно при достаточно большом количестве наблюдений и при условии, что одно из значений повторяется значительно чаще, чем другие.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находится мода и медиана.

Используют следующие формулы:

- нижняя граница медианного интервала;

- величина интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

- частота медианного интервала.

Пример.

Средняя годовая стоимость	Число	Накопленные
основных фондов, млн. руб.	предприятий	частоты
3,7 - 4,6	2	2
4,6 - 5,5	4	6
5,5 - 6,4	6	12
6,4 - 7,3	5	17
7,3 - 8,2	3	20

Медиана находится в интервале 5,5 – 6,4, т.е 11 величина, тогда

Мода должна находится в интервале 5,5 – 6,4, т.к. f=6

*

(* - с равными интервалами)

- начало модального интервала;

- частота, соответствующего модального интервала;

- предмодальная частота;

- послемодальная частота.

Медиану и моду можно определить графически. Медиана определяется по кумуляте.

S

20

16

12

8

4

Ме

3,7 4,6 5,5 6,4 7,3 8,2

Высоту наибольшей ординаты делят пополам. Через эту точку проводят параллель оси абсцисс до пересечения с кумулятой. Точка пересечения является медианой.

Мода определяется по гистограмме. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. Левую вершину с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пресечения это мода.

f

6

5

4

3

2 Ме

1

3,7 4,6 5,5 6,4 7,3 8,2

При статистическом контроле качества продукции удобнее пользоваться медианой, а не средней арифметической, т. к. для ее определения не требуется определенных расчетов (ранжированный ряд). Она не чувствительна к крайним значениям.

В рядах с открытыми интервалами также целесообразнее пользоваться модой и медианой.

Мода применяется при изучении спроса населения на товары народного потребления (наибольший спрос).