Формула полной вероятности и формулы Бейеса

При вычислении вероятностей сложных событий часто приходится одновременно применять теоремы сложения и умножения. Рассмотрим одну часто встречающуюся схему.

1) Пусть событие А может произойти одновременно с одним и только с одним из n попарно несовместных событий H₁, H₂, ...,H_n , называемых гипотезами. Тогда его можно представить в виде суммы несовместных слагаемых:

А = Н₁А + Н₂А + ... + Н_nА,

следовательно, применяя сначала теорему сложения для несовместных событий, а затем теорему умножения для совместных событий, получим

(4.1)

Эта формула называется формулой полной вероятности, поскольку при вычислении вероятности данного события А мы учитываем все возможные гипотезы.

Схема применения формулы полной вероятности имеет две характерные особенности:

а) относительно появления события А существует некоторая неопределенность, то есть можно сделать несколько предположений (гипотез);

б) опыт проходит в два этапа: сначала осуществляется какая-либо гипотеза, а затем уже само событие А.

Сформулируем теперь обратную задачу. Пусть имеется та же схема, что и в пункте 1), но интересующее нас событие А уже произошло. Нужно найти при этом предположении вероятности гипотез, то есть найти условные вероятности P(H_i /A) (i = 1,2,...,n).

Это можно сделать с помощью так называемых формул Бейеса:

(4.2)

где Р(А) вычисляется по формуле (4.1).

Пример 1. Имеется 5 одинаковых на вид урн следующих составов:

2 урны содержат по 3 белых и 3 черных шара,

2 урны содержат по 4 черных шара,

1 урна содержат 1 белый и 5 черных шаров.

Наудачу выбирается урна и из нее вынимается шар. Найти вероятность того, что он будет белым. Решение. Пусть А - выход белого шара.

Поскольку мы не знаем, из какой именно урны был вынут шар, можно сделать три гипотезы:

H₁ - выбор урны первого состава;

Н₂ - выбор урны второго состава;

Н₃ - выбор урны третьего состава.

Тогда А = H₁А + Н₂ А + Н₃А , следовательно, по формуле полной вероятности

P(A)=P(H₁)P(A/H₁)+P(H₂)P(A/H₂)+P(H₃)P(A/H₃). (4.3)

Вычислим все нужные вероятности по классическому определению. Так как всего урн 5, из них 2 первого состава, 2 второго и 1 третьего, то

Условные вероятности P(A/H_k) -это вероятности вынуть белый шар из урны определенного состава, поэтому

Подставляя найденные вероятности в (4.3), получим

Пример 2. Вернемся к первому примеру данного параграфа и предположим, что в условиях этого примера мы вынули из урны шар, и он оказался белым. Нужно найти вероятность того, что вынут из урны 1-го состава, 2-го состава, 3-го состава.

Решение. Мы уже нашли, что в данных условиях р(а) = , тогда по формулам (4.2)

Естественно, что для урны 1-го состава эта вероятность больше, чем для урны 3-го состава (там белых шаров больше), а для урны 2-го состава вероятность равна нулю (там белых шаров вообще нет), но с помощью формул Бейеса мы смогли не только оценить, но и точно указать эти вероятности.

Как видно из формул Бейеса, чтобы найти вероятность какой-либо гипотезы, нужно взять соответствующее этой гипотезе слагаемое в формуле полной вероятности и разделить его на полную вероятность события А. Таким образом, формулы Бейеса показывают, какую долю составляет каждая гипотеза в полной вероятности данного события.