Классическое определение вероятности

Пусть проводится некоторый опыт (осуществляется некоторый комплекс условий), связанный с появлением полной группы событий G, состоящей из n попарно несовместных равновозможных элементарных событий Е₁,Е₂,...,Е_n .

Если событие А подразделяется на m частных случаев из этой группы, то вероятностью события А называется отношению m к n:

В дальнейшем для краткости речи можно использовать следующую терминологию: элементарные попарно несовместные равновозможные события E_k будем называть "исходами" данного опыта. Те из них, на которые подразделяется событие А, будем называть "благоприятными для А исходами". Тогда классическое определение вероятности можно сформулировать следующим образом:

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для А исходов данного опыта к числу всех возможных его исходов.

При вычислении вероятностей по классическому определению часто приходится применять формулы комбинаторики.

Основные свойства вероятностей.

1. Вероятность любого события неотрицательна и не превосходит 1:

2. Вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0.

3. Вероятность события , противоположного событию А, равна

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Те вероятности, о которых мы говорили до сих пор, зависящие только от условий данного опыта, называются безусловными.

Однако, в ряде случаев приходится находить вероятность события при условии, что уже произошло некоторое другое событие В. Такую вероятность будем называть условной и обозначать .

Используя понятие условной вероятности можно вывести формулы, позволяющие вычислять вероятности произведения и суммы.

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности другого, то есть

P(A/B)=P(A) и P(B/A)=P(B) (3.1)

Теоремы умножения

1. p(AB)= р(а)р(в)- для двух независимых событий

2. Р(АВ)= р(а)р(в/а) =Р(B)P(А/В)-для двух зависимых событий ,

Теоремы сложения

1. Р(А + В)= р(а)+ р(в)- Р(АВ)- для двух совместных событий

2. р(а + в) = р(а) + р(в)- для двух несовместных событий .

Пример 1. В урне 5 белых и 3 черных шара. Наугад вынимается один. Найти вероятность того, что он белый.

Решение. Как мы уже сказали, в данном опыте мы считаем, что все шары одного размера и веса, так что на ощупь их отличить нельзя, следовательно, выход любого шара одинаково вероятен. Предположим, что все они перенумерованы, тогда, очевидно, число всевозможных исходов n = 8.

Пусть событие А - выход белого шара, тогда число благоприятных для А исходов m = 5

Применяя классическое определение, получаем

Р(А)=

Пример 2. Найти вероятность выпадения четного числа очков при бросании одной игральной кости.

Решение. При бросании одной игральной кости исходами являются события E_k- выпадение k очков (k = 1,2,...,6), так что n = 6 . Из них благоприятными для события А-выпадения четного числа очков - являются Е₂, Е₄, Е₆ , следовательно, m = 3 .

Таким образом, по определению

Пример 3. В урне 5 белых и 3 черных шара. Наудачу вынимаются 2. Найти вероятность того, что они оба белые.

Решение. При одновременном извлечении сразу двух шаров, очевидно, порядок их не имеет значения, важно лишь то, какие именно номера шаров появляются. Таким образом, мы имеем сочетания из данных 8 элементов по 2, то есть число всех возможных исходов . Это, действительно, исходы, так как выход любых двух шаров одинаково возможен.

Так как белых шаров всего 5, то число благоприятных исходов для данного события А – выхода двух белых шаров - равно m =

Таким образом,

Пример 4. Имеется 6 карточек с буквами "а", "о", "е", "р", "к", "м". Наугад вынимаются 4 и раскладываются в ряд. Какова вероятность получения слова "море"?

Решение. Результатом данного опыта является получение какого-либо слова из 4 букв, выбранных из данных 6 (при этом словом мы считаем любую комбинацию букв, даже не имеющую смысла). Очевидно, что при составлении слова важен не только состав выбранных букв, но и порядок их расположения, следовательно, в качестве исходов мы имеем здесь размещения из 6 элементов по 4. Число всевозможных исходов n =

Благоприятный для получения слова "море" только один, следовательно, вероятность интересующего нас события А: .