Перестановки

Перестановкой из п элементов называется размещение из п элементов по п элементов. Так как каждая перестановка содержит все п элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

Число всех возможных перестановок из п элементов обозначают Р_п:

Пример. Сколькими способами можно расставить 6 различных книг на одной полке? Искомое число способов равно

Р₆= 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720.

Действительно, первую книгу можно выбрать шестью способами, вторую — пятью способами и т.д., последнюю — одним способом. По правилу умножения общее число способов равно 6*5*4*3*2*1 = 720.

Сочетания

Пусть дано множество, состоящее из п элементов. Сочетанием из п элементов по k (0  k  п) элементов называется любое подмножество, которое содержит k различных элементов данного множества. Таким образом, различными подмножествами считаются только те, которые отличаются составом элементов. Подмножества, отличающиеся друг от друга лишь порядком следования элементов, не считаются различными.

Число всех возможных сочетаний из п элементов по k обозначается . Так как число перестановок из k равно k!, то число размещений из п элементов по k — будет в k! раз больше, чем число сочетаний из п элементов по k — , т. е. , отсюда

Пример. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать способами:

Контрольные задания

1. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?

Ответ. 20.

2. Из 9 человек надо выбрать 4 человека и разместить их на четырех занумерованных стульях (по 1 человеку на стуле). Сколькими способами это можно сделать?

Ответ. 3024.

3. Сколькими способами можно составить команду из 4 человек для соревнования по бегу, если имеется 7 бегунов?

Ответ. 35.

4. Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани шести различных цветов и все стулья должны быть разного цвета?

Ответ. 720.

Тема 4.2. Случайные события и их вероятности. События и операции над ними

Событием мы будем называть результат любого опыта или испытания.

Достоверным называется событие, которое появляется всякий раз при осуществлении данного комплекса условий. Все достоверные события обозначаются буквой U.

Невозможным называется событие, которое заведомо не может произойти при осуществлении данного комплекса условий. Все невозможные события обозначаются буквой V.

Случайным называется событие, которое может произойти, а может и не произойти при осуществлении данного комплекса условий. Случайные события будем обозначать большими буквами начала латинского алфавита: А, В, С и т.д.

Совместными называются события, которые могут появиться одновременно при осуществлении данного комплекса условий.

События называются несовместными, если при осуществлении данного комплекса условий появление одного из них исключает появление других.

Событие, заключающееся в непоявлении события А, называется противоположным событию А. Оно обозначается .

Суммой событий A_l, A₂,… ,A_n будем называть событие, заключающееся в появлении хотя бы одного из данных событий. Обозначение: A₁ +А₂ +... + А_n .

Произведением событий Ai,A₂,...,A_n называется событие, заключающееся в одновременном появлении данных событий. Обозначение А • А₂ •... • А_n .

Будем говорить, что события A₁,A₂,...,A_n образуют полную группу, если хотя бы одно из них появляется при осуществлении данного комплекса условий. Иначе говоря, эти события в сумме составляют достоверное событие: A₁ +А₂ +... + А_n = U.

События А₁, А₂,…, А_n называются равновозможными, если при осуществлении данного комплекса условий ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Операции над событиями можно наглядно изобразить на так называемой диаграмме Венна (рис.1).

Представим достоверное событие в виде некоторого квадрата на плоскости, а событием будем считать любую область внутри этого квадрата, при этом невозможным событием будем считать пустое множество. Тогда операциям над событиями можно поставить в соответствие некоторые теоретико-множественные операции.

Пример. Пусть А₁ - попадание при первом выстреле, А₂ - попадание при втором. Выразить через А₁ и А₂ следующие события: В - попадание при двух выстрелах; С - попадание только при одном выстреле; D - попадание хотя бы при одном выстреле, Е - промах при обоих выстрелах.

Решение. Очевидно, что

В = ,

С= ,

D = или D = ;

E = или Е =