Глава 4. Элементы теории вероятностей.

Содержание:

Тема 4.1. Элементы комбинаторики 2

Основные правила комбинаторики 2

Правило сложения 2

Правило умножения 2

Размещения 2

Перестановки 3

Сочетания 3

Контрольные задания 4

Тема 4.2. Случайные события и их вероятности. 5

События и операции над ними 5

Классическое определение вероятности 7

Основные свойства вероятностей. 7

Теоремы сложения и умножения вероятностей 7

Теоремы умножения 7

Теоремы сложения 7

Формула полной вероятности и формулы Бейеса 9

Контрольные задания 10

Тема 4.1. Элементы комбинаторики

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Другими словами, это раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного конечного множества и размещения этих элементов в каком-либо порядке. Например: сколько различных четырехзначных чисел можно написать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 без повторения цифр?

Основные правила комбинаторики Правило сложения

Пример. Из пункта А в пункт В можно добраться самолетом, поездом и автобусом, причем между этими пунктами существуют 2 авиамаршрута, 1 — железнодорожный и 3 — автобусных. Следовательно, общее число маршрутов между пунктами А и В равно 2+1 + 3 = 6. Обобщая этот пример, можно сформулировать правило сложения.

Если выбор каждого из объектов a_i(i = 1, 2, ..., k) можно выполнить n_i способами, то выбор «или а_i, или а₂,..., или a_k» можно произвести способами.

Правило умножения

Пример. Сколькими способами можно распределить четыре шара по двум лункам, в которые помещается только один шар. Очевидно, первую лунку можно заполнить четырьмя способами, так как при выборе первой лунки имеется четыре шара. Вторую лунку можно заполнить тремя шарами, так как после заполнения первой лунки осталось три шара.

Заметим, что с каждым из четырех способов заполнения первой лунки может совпасть любой из трех способов заполнения второй. Поэтому общее число способов распределения двух лунок равно 4x3 = 12.

Запишем правило умножения в общем виде.

Если выбор каждого из k объектов а_i (i = 1,2,..., k) можно осуществить п_i способами, то выбор «и а₁ и а₂,..., и a_k» можно произвести способами.

Размещения

Пусть дано множество, состоящее из п элементов. Размещением из п элементов по k (0 k  п) элементов называется упорядоченное подмножество, содержащее k различных элементов данного множества. Эти подмножества отличаются друг от друга или составом элементов, или порядком их распределения. Но число элементов во всех этих подмножествах равно k.

Для определения числа размещений из п элементов по k учтем, что первый элемент подмножества может быть взят п способами, второй — (n—1) способом,..., k-й элемент — (n-(k-1)) способами. Отсюда, используя правило умножения, получаем

Здесь n! = 1*2*3*…n

Условимся считать 0! = 1, поэтому .

Пример. В соревнованиях принимают участие 16 команд. Сколькими способами могут распределиться три первых места, т. е. необходимо найти число всех подмножеств, состоящих из трех элементов, отличающихся составом (номерами команд) или порядком их размещения (подмножества № 1, № 2, № 3 и № 2, № 1, № 3 являются разными). Таким образом, имеем дело с размещением. Тогда искомое число равно