Уравнения с разделяющимися переменными.

Определение 6. Уравнение вида

называется

дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для отыскания решения этого уравнения нужно, как говорят, разделить в нем переменные.

,

а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение 7. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

,

где p и q – постоянные величины.

Для отыскания решения этого уравнения составляется характеристическое уравнение

k² + pk + q = 0,

которое получается из исходного уравнения заменой на соответствующие степени k.

Тогда общее решение строится в зависимости от корней k_1, и k₂ характеристического уравнения. Здесь возможны три случая.

1 случай. Корни k_1, и k₂ – действительны и различны. Общее решение имеет вид:

y = C₁e ^k1x + C₂e^k2x

2 случай. Корни k_1, и k₂ – действительны и равны. Общее решение имеет вид:

y = (C₁ + C₂)e^kx

2 случай. Корни k_1, и k₂ – комплексно-сопряжённые: k₁ = +i, k₂ = -i. Общее решение имеет вид:

y = e^x(C₁cosx + C₂sinx)

9