Формула Ньютона—Лейбница

В этом параграфе, опираясь на свойства интеграла с переменным верхним пределом, мы получим основную формулу интегрального исчисления, традиционно связываемую с именами И. Ньютона и Г.В. Лейбница.

Теорема. Пусть функция у =f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] и F(х) — любая первообразная для f(х) на [а, Ь]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [а, Ь] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.

Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона—Лейбница осуществляется в два шага:

1. находят некоторую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(х);

2. применяется собственно формула Ньютона—Лейбница — находится приращение первообразной, равное искомому интегралу.

Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона—Лейбница можно использовать любую первообразную F(х) для подынтегральной функции f(х), например, имеющую наиболее простой вид при С=0.

Тема 2.3. Обыкновенные дифференциальные уравнения

В математике дифференциальные уравнения занимают особое место. Математическое исследование самых разнообразных явлении, происходящих в природе, часто приводит к решению таких уравнений, поскольку сами законы, которым подчиняется то или иное явление, записываются в виде дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения — это уравнения, в которые неизвестная функция входит под знаком производной. Основная задача теории дифференциальных уравнений — изучение функций, являющихся решениями таких уравнений.

Дифференциальные уравнения первого порядка Определение дифференциального уравнения первого порядка.

Определение 1 Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной , входящей в данное уравнение.

Определение 2. Уравнение вида

F(x,y,y') = 0 (1)

где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' — ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (1) можно разрешить относительно у', то оно принимает вид

y’ = f(x, y) (2)

и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Будем рассматривать именно такие уравнения. В некоторых случаях уравнение (2) удобно записать в виде или в виде f(x, y)dx – dy =0, являющемся частным случаем более общего уравнения

P(x, y)dx + Q(x. y)dy = 0, (3)

где Р(х, у) и Q (x, у) — известные функции. Уравнение в симметричной форме (3) удобно тем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. каждую из них можно рассматривать как функцию другой.

Приведем примеры дифференциальных уравнений вида (2) и (3):

у' = хe^y, у' = , у' = х + у, х dx + у dy = 0.

Решение уравнения.

Определение 3. Решением дифференциального уравнения первого прядка называется функция y=(x), x(a,b), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, например, функция у = х³, х( -, +) является решением уравнения 3y - xy'=0,т.е. при подстановке в уравнение обращает его в тождество: 3x³ – x3x² = 0.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общее и частное решение уравнения.

Дадим два основных определения.

Определение 4. Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение у =(х, С), в которое входит столько независимых произвольных постоянных С, каков порядок уравнения.

Определение 5. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при определенном значении постоянной С=С₀.

Геометрически общее решение у =(х, С) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от одной произвольной постоянной С, а частное решение у = у(х, С₀) - одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через данную точку (x₀,y₀).